Question

cuales son los aportes de leonhard Euler en el tema de líneas y puntos notables de un triángulo?​

Answer 1

Respuesta:

uno de sus aportes fue de las ecuaciones :

   sin ⁡ ( 2 A ) sin ⁡ ( B − C ) x + sin ⁡ ( 2 B ) sin ⁡ ( C − A ) y + sin ⁡ ( 2 C ) sin ⁡ ( A − B ) z = 0 {\displaystyle \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0} \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y + \sin(2C)\sin(A-B)z=0

Otra manera para representar la línea de Euler es en términos de un parámetro t. Comenzando con el circuncentro y el ortocentro:

   sec ⁡ ( A ) : sec ⁡ ( B ) : sec ⁡ ( C ) = cos ⁡ ( B ) cos ⁡ ( C ) : cos ⁡ ( C ) cos ⁡ ( A ) : cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) {\displaystyle \sec(A):\sec(B):\sec(C)=\cos(B)\cos(C):\cos(C)\cos(A):\cos(A)\cos(B)} \sec(A):\sec(B):\sec(C)= \cos(B)\cos(C):\cos(C)\cos(A):\cos(A)\cos(B)

Cada punto en la línea de Euler, excepto el ortocentro, se describe como

   cos ⁡ ( A ) + t cos ⁡ ( B ) cos ⁡ ( C ) : cos ⁡ ( B ) + t cos ⁡ ( C ) cos ⁡ ( A ) : cos ⁡ ( C ) + t cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) {\displaystyle \cos(A)+t\cos(B)\cos(C):\cos(B)+t\cos(C)\cos(A):\cos(C)+t\cos(A)\cos(B)} \cos(A)+ t\cos(B)\cos(C):\cos(B)+ t\cos(C)\cos(A):\cos(C)+ t\cos(A)\cos(B)

para algunos t.

   Centroide

   cos ⁡ ( A ) + cos ⁡ ( B ) cos ⁡ ( C ) : cos ⁡ ( B ) + cos ⁡ ( C ) cos ⁡ ( A ) : cos ⁡ ( C ) + cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) {\displaystyle \cos(A)+\cos(B)\cos(C):\cos(B)+\cos(C)\cos(A):\cos(C)+\cos(A)\cos(B)} \cos(A)+ \cos(B)\cos(C):\cos(B)+ \cos(C)\cos(A):\cos(C)+ \cos(A)\cos(B)

   Centro de la circunferencia de los nueve puntos

   cos ⁡ ( A ) + 2 cos ⁡ ( B ) cos ⁡ ( C ) : cos ⁡ ( B ) + 2 cos ⁡ ( C ) cos ⁡ ( A ) : cos ⁡ ( C ) + 2 cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) {\displaystyle \cos(A)+2\cos(B)\cos(C):\cos(B)+2\cos(C)\cos(A):\cos(C)+2\cos(A)\cos(B)} \cos(A)+ 2\cos(B)\cos(C):\cos(B)+ 2\cos(C)\cos(A):\cos(C)+ 2\cos(A)\cos(B)

Punto de Longschamps

cos ⁡ ( A ) − cos ⁡ ( B ) cos ⁡ ( C ) : cos ⁡ ( B ) − cos ⁡ ( C ) cos ⁡ ( A ) : cos ⁡ ( C ) − cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) {\displaystyle \cos(A)-\cos(B)\cos(C):\cos(B)-\cos(C)\cos(A):\cos(C)-\cos(A)\cos(B)} \cos(A) - \cos(B)\cos(C):\cos(B) - \cos(C)\cos(A):\cos(C) - \cos(A)\cos(B)

Punto de Euler infinito

cos ⁡ ( A ) − 2 cos ⁡ ( B ) cos ⁡ ( C ) : cos ⁡ ( B ) − 2 cos ⁡ ( C ) cos ⁡ ( A ) : cos ⁡ ( C ) − 2 cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) {\displaystyle \cos(A)-2\cos(B)\cos(C):\cos(B)-2\cos(C)\cos(A):\cos(C)-2\cos(A)\cos(B)} \cos(A) - 2 \cos(B)\cos(C):\cos(B) - 2 \cos(C)\cos(A):\cos(C) - 2\cos(A)\cos(B)

Espero averte ayudado!!! gracias uwu