Question

La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤t≤10)). Esto es, dP/dt=kt. El tamaño inicial de la población es igual 5 ciento Después de un día la población ha crecido a 9 ciento . Estimar el tamaño de la población después de 2 días

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso: si es proporcional a t es esto si es la raíz cuadrada me sale 16.28 aproximadamente

Answer 2

Hola :D

Tema: Integración.

Se nos dice que la tasa de crecimiento es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo:

$\dfrac{dP}{dt} \propto \sqrt{t}$

Para llevarlo a una igualdad añadimos una constante (k):

$\dfrac{dP}{dt} = k \sqrt{t}$

Esto propiamente es una ecuación diferencial, por lo que se resuelve:

$dP = k \sqrt{t} dt \to \texttt{integras} \\ \int \: dP = k \int \sqrt{t} dt$

Ojo aquí: No vamos a usar una integración definida, esto es debido a que no tenemos el dato de la constante. En cambio se resolverá por una integración indefinida.

Ten en cuenta que se debe poner la constante de integración (C).

Para integrar:

$\int \sqrt{t} dt$

Lo puedes reescribir, poniendo en cambio:

$\int \: {t}^{ \frac{1}{2} } dt$

Ahora, usas la siguiente fórmula:

$\boxed{ \int \: {u}^{n} = \dfrac{u^{n + 1} }{n + 1} + C}$

Tendrás:

$\int \: {t}^{ \frac{1}{2} } dt = \dfrac{t {}^{ \frac{1}{2} + 1 } }{ \frac{1}{2} + 1} + C\\ \int \: {t}^{ \frac{1}{2} } dt = \dfrac{ {t}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + C = \frac{2}{3} {t}^{ \frac{3}{2} } + C$

Listo, ahora, tendrás:

$\int \: dP = k \int \sqrt{t} dt \\ P _{(t)} = \dfrac{2k}{3} {t}^{ \frac{3}{2} } + C$

Se nos da el dato de que al inicio, es decir $t=0$ había $500$ bacterias (intuyo que quieres decir eso, ya que dice cientos), en otras palabras: $P_{0}=500$, entonces con esos datos evaluemos la función:

$500 = \dfrac{2k}{3} {(0)}^{ \frac{3}{2} } + C \to \: \bf{C = 500}$

Entonces, nuestra función por ahora es:

$\clubsuit \: P _{(t)} = \dfrac{2k}{3} {t}^{ \frac{3}{2} } + 500$

Remarco el "por ahora" ya que nos falta $k$, para encontrarla usamos el otro dato:

★ Después de un día la población ha crecido a 900 bacterias ($P_{1}=900$).

Se evalúa:

$900 = \dfrac{2k}{3} {(1)}^{ \frac{3}{2} } + 500 \to \: \dfrac{2k}{3} = 900 - 500 \\ \dfrac{2k}{3} = 400 \to \: k = \frac{400 \times 3}{2} \\ \Rightarrow \: \bf{k = 600}$

Sustituimos y encontraremos nuestra función para encontrar la respuesta:

$P _{(t)} = \dfrac{2(600)}{3} {t}^{ \frac{3}{2} } + 500 \\ \boxed{ \boxed{P _{(t)} = 400 {t}^{ \frac{3}{2} } + 500}}$

Lo último que queda es poner $t=2$:

$P _{(t)} = 400 {(2)}^{ \frac{3}{2} } + 500$

Conclusión:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \bf{En \: 2 \: dias \: el \: tamaño \: de \: la \: población \: sera\: de \: 1631 \: bacterias.</p><p>}}}}$