Question

¿En qué cifra termina el producto de todos los números impares menores que 100 ?

Answer 1

Explicación paso a paso:

Los números impares menores que 100 son una sucesión o progresión aritmética. Su diferencia es 2. Vamos a comprobarlo

1, 3, 5, 7, ...

7 - 5 = 2;  5 - 3 = 2; etc.

El término general de una progresión aritmética es:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot d$

En este caso:

$a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2$

$a_{n} = 2n - 1$

Nos piden la cifra en la que termina el producto.

El producto de los términos de una progresión aritmética es igual a la RAÍZ CUADRA DEL PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL ÚLTIMO ELEVADO AL NÚMERO DE TÉRMINOS.

$P=\sqrt{(a_{1} \cdot a_{n})^{n} }$

¿Cuál será el último término?, el último impar mayor pero que sea menor que 100, que es el 99

$a_{1} =1$

$a_{n} =99$

¿Qué lugar ocupa el término 99? Es decir, ¿cuánto vale n?

Sustituimos en el término general:

99 = 2n - 1

100 = 2n

50 = n

Resolvemos

$P=\sqrt{(1 \cdot 99)^{50} }$

$P=\sqrt{99^{50} } ;\;\;\;\ P= 99^{25}$

¿Cuál es la última cifra del número que representa la potencia $99^{25}$ ? cuando tenemos una potencia muy grande hacemos lo siguiente:

El método que hay que seguir es intentar llegar a un patrón de la última cifra, así veremos cuántas veces se tiene que elevar un número para llegar al patrón y ya una vez obtenido ese número, dividiremos la potencia que queremos entre el patrón quedándonos con el resto que nos dará la posición en el patrón.

$99^{1} = 99\\99^{2}=9801\\99^{3}=970299\\99^{4} =96059601\\99^{5}=9509900499$

En este caso no es necesario dividir porque el patrón está muy claro: 99 elevado a exponentes impares termina en 9 y cuando se eleva a exponentes pares termina en 1.

La última cifra por tanto del producto cuyo resultado era $99^{25}$ es 9.

Answer 2

Respuesta:

ES 5

Explicación paso a paso:

PORQUE VA MULTIPLICANDO 1 * 3 * 5 * 7.........* 99            

 ya  bueno es 5 porque  lo que multiplica por cinco con impar  queda en 5

*= multiplicación