Question

Desde la parte más alta de un faro que tiene una altura de 90 metros sobre el nivel del mar, se observa un bote con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia del observador se halla el bote?

Answer 1

La distancia del observador al bote es de 112,50 metros.

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo dado resulta ser un triángulo notable.

Triángulos notables

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa la constante k, una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable.

Existen varios triángulos notables muy conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas. Pero no es la intención de hablar de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto,

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del faro, el lado BC que representa la distancia sobre el plano horizontal desde el faro hasta el bote y el lado AB que es la proyección visual y a la vez la distancia del observador desde la parte más alta del faro hasta el punto donde se halla el bote bajo un ángulo de depresión de 53°

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la altura del faro y de un ángulo de depresión de 53° desde donde se encuentra el observador hasta el punto donde se halla el bote

• Altura del faro = 90 m

• Ángulo de depresión = 53° (ángulo notable)

• Debemos hallar la distancia desde el observador hasta el bote

Vamos a relacionar estos datos con el seno del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed{ \bold {sen (53)\° = \frac{4}{5} }}$

Planteamos

$\boxed {\bold {sen (53)\° = \frac{cateto \ opuesto}{hipotenusa } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed {\bold {sen (53)\° = \frac{altura \ del \ faro}{distancia \ del \ observador\ al \ bote } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = \frac{altura \ del \ faro}{sen (53)\° } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = \frac{90 \ metros}{sen (53)\° } }}$

Si

$\boxed{ \bold {sen (53)\° = \frac{4}{5} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = \frac{90 \ metros}{\frac{4}{5} } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = 90 \ metros \ . \ \frac{5}{4} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = 112,50 \ metros }}$

La distancia del observador hasta donde se halla el bote = 112,50 m

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del faro es de 90 metros

Y es el cateto opuesto al ángulo notable de 53°

Planteamos:

$\boxed{\bold {altura \ del \ faro = 90 \ metros = 4k}}$

Donde despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 4k = 90 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 90 \ metros }{4} }}$

$\boxed{\bold { k = 22,50 }}$

El valor de la constante k es 22,50

Al ser un triángulo notable el valor de la hipotenusa -que es la distancia desde el observador hasta el bote- equivale a 5k

Planteamos

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = 5k }}$

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = 5 \ . \ 22,50 }}$

$\boxed {\bold { distancia \ del \ observador\ al \ bote (AB) = 112,50 \ metros }}$

La distancia del observador hasta el bote = 112,50 m

Podemos hallar también a que distancia se encuentra el bote desde la base del faro

Al ser un triángulo notable el cateto adyacente- que es la distancia desde el faro hasta el bote- equivale a 3k

Planteamos:

$\boxed {\bold { distancia \ de \ la \ base \ del \ faro\ al \ bote (BC) = 3k }}$

$\boxed {\bold { distancia \ de \ la \ base \ del \ faro\ al \ bote (BC) = 3 \ . \ 22,50 }}$

$\boxed {\bold { distancia \ de \ la \ base \ del \ faro\ al \ bote (BC) = 67,50 \ metros }}$

La distancia del faro hasta donde se encuentra el bote = 67,50 m

Answer 2

Respuesta:

el de arriba ya lo hizo leelo

Explicación paso a paso: