Question

Halle la longitud de la curva C1, dos puntos espacio y = x^2 - 1/8 ln x , donde x pertenece [1;8]

Answer 1

Respuesta:   La longitud de la curva en el primer cuadrante  es de 63,25 u²

Explicación paso a paso:

$y\:=\:x^2\:-\:1/8\:ln\:x\:,\:x\in \left(1,\:8\right)$

Para hallar la longitud de su curva necesitamos la derivada de y´:

$\frac{d}{dx}\left(y\:=\:x^2\:-\:1/8\:ln\:x\right)$

Resolvemos:

$\mathrm{Tratar\:}y\mathrm{\:como\:}y\left(x\right)$

$\mathrm{Derivar\:ambos\:lados\:de\:la\:ecuacion\:con\:respecto\:a\:}x$

$\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(x^2-\frac{1}{8}\ln \left(x\right)\right)$

$\frac{d}{dx}\left(y\right)=2x-\frac{1}{8x}$

$\mathrm{Por\:conveniencia,\:escribir\:}\frac{d}{dx}\left(y\right)\mathrm{\:como\:}y^{'\:}$

$y^{'\:}=2x-\frac{1}{8x}$

$\mathrm{Escribir}\:y^{'\:}\:\mathrm{como}\:\frac{d}{dx}\left(y\right)$

$\frac{d}{dx}\left(y\right)=2x-\frac{1}{8x}$

$2x-\frac{1}{8x}$  ------ obteniendo la derivada procedo a la formula de la longitud de la curva:

Después lo igualamos a 0

$2x-\frac{1}{8x}=0$

$16x^2-1=0$

$x=\frac{1}{4}$

Donde reemplazo para hallar su vértice

$y\:=\:\left(\frac{1}{4}\right)^2\:-\:1/8\:ln\:\left(\frac{1}{4}\right)\:$

Finalmente el vértice seria:

V:$(\frac{1}{16}-\frac{1}{8}\ln \left(\frac{1}{4}\right) ,\frac{1}{4})$

V: $(\:1.44,0.25)$

Pero nos interesa la longitud de la curva , para ello hacemos la siguiente integral:

La integral de sus coordenadas , con la raíz cuadrada de 1+ y prima o derivada elevada al cuadrado diferencial de x

$\int _1^8\:\sqrt{1+\left(2x-\frac{1}{8x}\right)^2}dx$

Así resolvemos la integral:

Simplificar : $\int _1^8\sqrt{1+\left(2x-\frac{1}{8x}\right)^2}dx$

$=\int _1^8\frac{16x^2+1}{8x}dx$

$\mathrm{Sacar\:la\:constante}:\quad \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx$

$=\frac{1}{8}\cdot \int _1^8\frac{16x^2+1}{x}dx$

Expandir : $\frac{16x^2+1}{x}$  ---> $16x+\frac{1}{x}dx$

$=\frac{1}{8}\cdot \int _1^816x+\frac{1}{x}dx$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla\:de\:la\:suma}:\quad \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

$=\frac{1}{8}\left(\int _1^816xdx+\int _1^8\frac{1}{x}dx\right)$

Primero:

$\int _1^816xdx=504$

$\int _1^8\frac{1}{x}dx=\:3ln\left(2\right)$

Entonces:

$=\frac{1}{8}\left(504+3\ln \left(2\right)\right)$

$\frac{1}{8}\left(504+3\ln \left(2\right)\right)\quad \left(\mathrm{Decimal:\quad }\:63.25993\dots \right)$

∴ Longitud de la curva es en el primer cuadrante es de 63,25 u²

Muy bonito problema :) , saludos