Question

La altura sobre el lado desigual de un triangulo isóceles mide 12cm y el ángulo desigual del triangulo es de 30°. Halla sus otros dos angulos, Perimetro y area​

Answer 1

Los dos ángulos iguales del triángulo isósceles miden ambos 75°. Su perímetro es de 31,27 centímetros y su área es de 38,58 centímetros cuadrados

Procedimiento:

Un triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro desigual.  

Por lo tanto, los ángulos también serán dos iguales (α) y el otro diferente (β), siendo éste el ángulo que forman los dos lados iguales (a).

Hallando los otros dos ángulos del triángulo isósceles

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Conocemos el valor del ángulo desigual que es de 30°

Planteamos:

$\boxed{\bold { 180\° - 30\° = 150\°}}$

Dónde 150° es la suma de los dos ángulos iguales del triángulo isósceles

Luego

$\boxed{\bold {\alpha = 150\°\div 2 = 75\°}}$

Los dos ángulos iguales del triángulo isósceles miden ambos 75°

• En este ejercicio tenemos como datos la altura del triángulo y el ángulo desigual del triángulo isósceles.

• Entonces como conocemos la altura y un ángulo dividiremos al triángulo isósceles en 2 triángulos rectángulos iguales.  

• Trabajaremos con un triángulo rectángulo, en donde conocemos el valor de un cateto (que es la altura), para hallar el valor del otro cateto que equivale a la mitad de la base del triángulo isósceles y de la hipotenusa que es el valor del lado igual del triángulo isósceles.

Hallando la mitad de la base del triángulo isósceles (cateto b)

Como conocemos al valor del ángulo desigual del triángulo isósceles que es de 30° y la altura de 12 cm.

Significa que para el triángulo rectángulo conocemos la medida del cateto a que es igual a la atura, y el valor de un ángulo agudo que para el triángulo rectángulo mide 15°

Vamos a relacionar esos datos con la tangente para hallar la medida del cateto b, que equivale a media base del triángulo isósceles

Planteamos:

$\boxed { \bold { tan (15\°) = \frac{b}{a} }}$

$\boxed { \bold { tan (15\°) = \frac{ mitad \ de \ la \ base }{altura \ tri\'angulo} }}$

$\boxed { \bold { mitad \ de \ la \ base = altura \ tri\'angulo\ .\ tan (15\°) {} }}$

$\boxed { \bold { mitad \ de \ la \ base = 12 \ cm\ .\ 0,2679491924 }}$

$\boxed { \bold { mitad \ de \ la \ base = 3,215 \ cm\ }}$

La mitad de la base del triángulo isósceles es de 3,215 centímetros

Hallando el valor del lado igual del triángulo isósceles (hipotenusa del triángulo rectángulo)

Como conocíamos el valor del cateto a y hemos calculado el valor del cateto b hallaremos la hipotenusa del triángulo rectángulo empleando el teorema de Pitágoras

Recordando que la hipotenusa del triángulo rectángulo equivale al valor del lado igual del triángulo isósceles

Planteamos:  

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} +b^{2} }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 12^{2} + 3,215^{2} }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 144 + 10,34 }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 154,34 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{154,34 } }}$

$\boxed { \bold { c = 12,4233 }}$

$\boxed { \bold { c = 12,42 \ cm }}$

El lado de igual valor del triángulo isósceles es de 12,42 centímetros

Hemos hallado la mitad de la base del triángulo isósceles

Luego

$\boxed{ \bold{3,215 \ cm \ . \ 2 = 6,43 \ cm}}$

La base o lado desigual del triángulo isósceles mide 6,43 centímetros

Y los dos lados iguales tienen un valor de 12,42 centímetros

Ahora que conocemos la medida de los lados del triángulo isósceles podemos calcular su perímetro y área      

Perímetro del triángulo isósceles

El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).

Expresamos:  

$\boxed{ \bold { Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = 2 \ . \ a + b}}$  

Reemplazamos

$\boxed{ \bold { Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = 2 \ . \ 12,42\ cm + 6,43 \ cm}}$

$\boxed{ \bold { Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles =24,84\ cm + 6,43 \ cm}}$

$\boxed{ \bold { Per\'imetro \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = 31,27 \ cm}}$

El perímetro del triángulo isósceles es de 31,27 centímetros

Área del triángulo isósceles

El área de un triángulo isósceles se calcula a partir de la base b (el lado no repetido) y la altura (h) del triángulo correspondiente a la base. El área es el producto de la base y la altura dividido entre dos

Expresamos:

$\boxed{ \bold { A\'rea \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = \frac{Base \ .\ altura }{2} }}$

Reemplazamos

$\boxed{ \bold { A\'rea \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = \frac{6,43 \ cm \ .\ 12 \ cm }{2} }}$

$\boxed{ \bold { A\'rea \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = \frac{77,16 \ cm^{2} }{2} }}$

$\boxed{ \bold { A\'rea \ Tri\'angulo \ Is\'osceles = 38,58 \ cm^{2} }}$

El área del triángulo isósceles es de 38,58 centímetros²  

Se adjunta gráfico para una mejor comprensión del desarrollo del ejercicio