Un poste se aparta 15 grados 20 minutos de la vertical de la región donde esta el sol, proyectando una sombra de 50,75 metros de longitud cuando el ángulo de elevación del sol es de 46 grados Encontrar la altura del poste.
Respuestas
La altura del poste inclinado es de aproximadamente 42,439 metros
Procedimiento:
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.
Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
Representamos la situación en un imaginario triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura del poste inclinado, el lado AB (c) que equivale a la longitud que proyecta la sombra del poste sobre la línea del suelo y el lado BC (a) que es la proyección del ángulo de elevación al sol.
Teorema del Seno:
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.
Hallando el valor del ángulo α - Para conocer la inclinación del poste
Sucede que el poste al alejarse de la dirección del sol se inclina 15°20' en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo.
Vamos a calcular la inclinación del poste
Si el poste no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo
Para sumar o restar ángulos se encolumnan los grados, los minutos y los segundos
Donde en este ejercicio se restará
90° 00’
-15° 20’
Donde como no es posible restar los minutos, convertimos un grado del minuendo en 60 minutos
89° 60'
- 15° 20’
_______
74° 40’
O lo que es lo mismo
En donde convertiremos los grados y minutos a grados decimales para resolver el ejercicio
Si
Dejamos los 74° como están, y tomamos los 40' para convertirlos a decimal
Sabiendo que si
Multiplicamos
Donde dividimos el numerador entre el denominador
Agregamos el decimal a los 74° Siendo α en grados decimales
Hallando el valor del ángulo γ
Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo, y hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°
Planteamos
Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo
Calculando la altura del poste
Hallando el valor del lado b
La altura del poste inclinado es de aproximadamente 42,439 metros
Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas
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