Question

Halla el volumen y el área de: a. Un octaedro regular si su arista mide 4 . b. Un tetraedro regular si su arista mide 6 cm. c. Un icosaedro regular si su arista mide 5 CM. d. Un hexaedro regular si su arista mide 4,25 dm.

Answer 1

Procedimiento:

OCTAEDRO REGULAR

• El octaedro (u octoedro) es un poliedro formado por ocho caras. Si éstas son triángulos equiláteros iguales, se trata de un octaedro regular, uno de los cinco sólidos perfectos (o sólidos platónicos).

El área del octaedro se calcula a partir de una de sus aristas.

$\boxed {\bold { \'Area \ Octaedro \ Regular = 2\ . \sqrt{3} \ . \ a^{2} }}$

Donde a es la longitud de la arista

Reemplazamos

$\boxed {\bold { \'Area \ Octaedro \ Regular = 2 \sqrt{3} \ . \ 4^{2} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Octaedro \ Regular = 2 \ .\sqrt{3} \ . \ 16 }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Octaedro \ Regular = 32 \sqrt{3} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Octaedro \ Regular \approx 55,42 \ cm^{2} }}$

El volumen del octaedro se calcula a partir de una de sus aristas.

$\boxed {\bold { Volumen \ Octaedro \ Regular = \frac{a^{3} \ . \ \sqrt{2} }{3} }}$

Donde a es la longitud de la arista

Reemplazamos

$\boxed {\bold { Volumen \ Octaedro \ Regular = \frac{4^{3} \ . \ \sqrt{2} }{3} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Octaedro \ Regular = \frac {64 \ . \ \sqrt{2} }{3} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Octaedro \ Regular = \frac {64 \sqrt{2} }{3} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Octaedro \ Regular \approx 30,17 cm^{3} } }}$  

TETRAEDRO REGULAR

• Un tetraedro regular es un poliedro cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales.  Es uno de los cinco sólidos platónicos.

El área del tetraedro se calcula a partir de una de sus aristas.

$\boxed {\bold { \'Area \ Tetraedro \ Regular =\sqrt{3} \ . \ a^{2} }}$

Donde a es la longitud de la arista

Reemplazamos

$\boxed {\bold { \'Area \ Tetraedro \ Regular =\sqrt{3} \ . \ 6^{2} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Tetraedro \ Regular =\sqrt{3} \ . \ 36 }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Tetraedro \ Regular =36\sqrt{3} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Tetraedro \ Regular \approx 62,35 \ cm^{2} }}$

El volumen del tetraedro se calcula a partir de una de sus aristas.

$\boxed {\bold { Volumen \ Tetraedro \ Regular = \frac{a^{3} \ . \ \sqrt{2} }{12} }}$

Donde a es la longitud de la arista

Reemplazamos

$\boxed {\bold { Volumen \ Tetraedro \ Regular = \frac{6^{3} \ . \ \sqrt{2} }{12} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Tetraedro \ Regular = \frac{216 \ . \ \sqrt{2} }{12} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Tetraedro \ Regular = \frac{ 12(18 \ \sqrt{2} ) }{12} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Tetraedro \ Regular = 18 \ \sqrt{2} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Tetraedro \ Regular \approx 25,45 \ cm^{2} }}$

ICOSAEDRO REGULAR

• El icosaedro es un poliedro formado por veinte caras. Si éstas son triángulos equiláteros iguales, se trata de un icosaedro regular, uno de los cinco sólidos perfectos (o sólidos platónicos)

El área del icosaedro se calcula a partir de una de sus aristas.

Donde a es la longitud de la arista

$\boxed {\bold { \'Area \ Icosaedro \ Regular = 5\ . \sqrt{3} \ . \ a^{2} }}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold { \'Area \ Icosaedro \ Regular = 5\ . \sqrt{3} \ . \ 5^{2} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Icosaedro \ Regular = 5^{3} \ . \sqrt{3} } }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Icosaedro \ Regular = 125\sqrt{3} } }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Icosaedro \ Regular \approx 216,51 \ cm{2} } }}$

El volumen del icosaedro se calcula a partir de una de sus aristas.

$\boxed {\bold { Volumen \ Icosaedro \ Regular =\frac{5}{12} \ .\ (3 + \sqrt{5} )\ . \ a^{3} }}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold { Volumen \ Icosaedro \ Regular =\frac{5}{12} \ .\ (3 + \sqrt{5} )\ . \ 5^{3} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Icosaedro \ Regular =\left(\frac{5}{4} +\frac{5}{12} \ .\ +\sqrt{5} \right)\ . \ 125 }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Icosaedro \ Regular =\frac{625}{4} +\frac{5 \sqrt{5} }{12} \ . \ 125 }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Icosaedro \ Regular =\frac{625}{4} +\frac{625 \sqrt{5} }{12} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Icosaedro \ Regular \approx 272,71 \ cm^{3} }}$

HEXAEDRO REGULAR

• El cubo (o hexaedro regular) es un poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales.

El área del cubo se calcula a partir de una de sus aristas.

$\boxed {\bold { \'Area \ Hexaedro \ Regular = 6 \ . \ a^{2} }}$

Donde a es la longitud de la arista

Reemplazamos

$\boxed {\bold { \'Area \ Hexaedro \ Regular = 6 \ . \ 4,25^{2} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Hexaedro \ Regular = 6 \ . \ 18,06 }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Hexaedro \ Regular \approx 108,36\ dm^{2} }}$

El volumen del hexaedro se calcula a partir de una de sus aristas.

$\boxed {\bold { Volumen \ Hexaedro \ Regular = a^{3} }}$

Donde a es la longitud de la arista

Reemplazamos

$\boxed {\bold { Volumen \ Hexaedro \ Regular = 4,25^{3} }}$

$\boxed {\bold { Volumen \ Hexaedro \ Regular \approx 76,76 \ dm^{3} }}$