Question

8.- Una caja de embalaje tiene las siguientes dimensiones: 50 cm de longitud, 20 cm de
anchura y 30 cm de altura.
a) Calcula la superficie total de cartón empleada en su construcción.
b) Halla el volumen de la caja en litros.​

Answer 1

Se emplearon 6200 centímetros cuadrados de cartón para construir la caja de embalaje. El volumen de la misma de de 30000 cm³ lo que equivale a 30 litros

Procedimiento:

• La caja de embalaje es un prisma rectangular

• Un prisma rectangular (u ortoedro) es un poliedro cuya superficie está formada por dos rectángulos iguales y paralelos entre sí llamados bases y por cuatro caras laterales que son también rectángulos paralelos e iguales dos a dos.

• El área de un prisma rectangular se calcula sabiendo los lados de la base rectangular (ancho y longitud) y su altura.
• Para calcular su área total tendremos que hacer dos cálculos, primero calcular el área de la base, y luego el área lateral.

Por lo tanto el área total de la superficie de un prisma rectangular equivale a la sumatoria de su área lateral  y el área de su base.  

Expresamos

$\boxed {\bold{\'Area\ Total\ Prisma \ Rectangular = \'Area \ de \ la \ Base + \'Area \ Lateral}}$

       

Se adjunta gráfico para una mejor comprensión del ejercicio

Hallando el área de la base

Cuando hablamos del área de la base nos referimos al "piso" y al "techo" del prisma cuadrangular      

Por tanto hallamos el área de la base multiplicando el largo y el ancho de la base, y se multiplica ese resultado por dos, ya que se tienen dos bases ("piso y "techo")

Planteamos

$\boxed {\bold{\'Area\ Base\ Prisma \ Rectangular = 2 \ . \ \'Area \ de \ la \ Base }}$

Como las dimensiones de la base de la caja de embalaje son de 50 cm de longitud y de 20 cm de ancho

Reemplazamos

$\boxed {\bold{\'Area\ Base\ Prisma \ Rectangular = 2 \ . \ \ (Largo\ . \ Ancho)}}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Base\ Prisma \ Rectangular = 2 \ . \ \ (50\ cm \ . \ 20 \ cm )}}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Base\ Prisma \ Rectangular = 2 \ . \ 1000\ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Base\ Prisma \ Rectangular = 2000\ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Base\ Caja \ Embalaje = 2000\ cm^{2} }}$

El área de la base del prisma rectangular, o de la caja de embalaje, es de 2000 cm²  

Hallando el área lateral

Ahora vamos a hacer lo mismo pero con las caras laterales en donde ambas son desiguales al tratarse de rectángulos.

En donde una cara se obtiene multiplicando la longitud por la altura, y la otra se calcula al multiplicar el ancho por la altura

En total tenemos cuatro caras, que son rectángulos paralelos e iguales dos a dos, pero de distinta dimensión

Entonces multiplicaremos cada uno de los rectángulos distintos por dos y los sumaremos para hallar el área lateral

Planteamos:

$\boxed {\bold{\'Area\ Lateral\ Prisma \ = 2 (Largo\ . \ Altura)+ 2 (Ancho\ . \ \ Altura)}}$

Como las dimensiones  de la caja de embalaje son de 50 cm de longitud,  20 cm de ancho y 30 cm de altura

Reemplazamos

$\boxed {\bold{\'Area\ Lateral\ Prisma \ \ = 2 (50\ cm \ . 30\ cm)+ 2 (20\ cm\ . \ 30 \ cm )}}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Lateral\ Prisma \ Rectangular = 2 (1500\ cm^{2} ) + 2 (600 \ cm^{2} )}}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Lateral\ Prisma \ Rectangular = 3000\ cm^{2} + 1200 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Lateral\ Prisma \ Rectangular = 4200 \ cm^{2} }}$  

$\boxed {\bold{\'Area\ Lateral\ Caja \ Embalaje = 4200 \ cm^{2} }}$

El área lateral del prisma rectangular, o de la caja de embalaje, es de 4200 cm²

Hallando el área total del  prisma rectangular

$\boxed {\bold{\'Area\ Total\ Prisma \ Rectangular = \'Area \ de \ la \ Base + \'Area \ Lateral}}$

Reemplazando

$\boxed {\bold{\'Area\ Total\ Prisma \ Rectangular = 2000 \ cm^{2} + 4200 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Total\ Prisma \ Rectangular = 6200 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold{\'Area\ Total\ Caja \ Embalaje = 6200 \ cm^{2} }}$

El área total del prisma rectangular, o de la caja de embalaje, es de 6200 cm²

Volumen de un prisma rectangular

El volumen de un prisma rectangular es el producto del área de la base (Ab) por la altura (h). En este caso, la base es un rectángulo, por lo que su área es el producto de los dos lados contiguos (largo y ancho).  

$\boxed {\bold{\'Volumen\ Prisma \ Rectangular = Largo \ . \ Ancho \ . \ Altura }}$

Como las dimensiones  de la caja de embalaje son de 50 cm de longitud,  20 cm de ancho y 30 cm de altura

Reemplazamos

$\boxed {\bold{\'Volumen\ Prisma \ Rectangular = 50\ cm \ . \ 20\ cm \ . \ 30\ cm }}$

$\boxed {\bold{\'Volumen\ Prisma \ Rectangular = 30000\ cm^{3} }}$

$\boxed {\bold{\'Volumen\ Caja \ Embalaje= 30000\ cm^{3} }}$

El volumen del prisma rectangular, o de la caja de embalaje, es de 30000 cm³

Convirtiendo el volumen de la caja a litros

1 litro = 1000 cm³

1 cm³ = 0,001 litros

Para convertir los centímetros cúbicos a litros dividimos el valor de volumen entre 1000

$\boxed {\bold{\frac{ 30000 \ cm^{3} }{1000} = 30\ litros}}$