Question

Un agricultor de Chillán, dispone de 600 hectáreas aptas para sembrar Eucaliptos.Sabe que la ganancia total G en $ que obtendrá de su producción dependerá del número de hectáreas sembradas x , de acuerdo a la expresión:
G(x)=2000x- 2x^{2}
Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener máxima ganancia.
¿En cuánto disminuiría su ganancia si sembrara las 600 hectáreas disponibles?

Answer 1

Buenas tardes;
Tenemos una función (G(x)=2000x-2x²) en la cual tenemos que encontrar sus máximos y sus mínimos, para ello procedemos de la siguiente forma.

1) Realizamos la 1ª derivada.
G´(x)=2000-4x

2) La igualamos a "0", y obtenemos valores de "x".
G´(x)=0  =====⇒ 2000-4x=0
-4x=-2000
x=-2000/-4=500.  (ahora sabemos que en x=500 puede haber un máximo o un mínimo).

3) realizamos la 2ª derivada;
G´´(x)=-4<0  =====⇒ Se trata de un máximo.

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La ganancia si se siembran las 600 ha es:
G(600)=2000.600-2.(600)²=1200000-720000=$480000

La ganancia si se siembran 500 ha es:
G(500)=2000.500-2.(500)²=1000000-500000=$500000

Disminución de la ganancia=$500000-$480000=$20000.

Sol: Para obtener la gnancia máxima tiene que sembrar 500 ha², si siembra 600 ha² en vez de 500 ha² su ganancia disminuira $20000.

Un saludo.