Question

La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que su lado mayor. Sabiendo que el perímetro
mide 46 cm. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?
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Answer 1

Los lados del rectángulo miden 15 y 8 centímetros

Procedimiento:

Para resolver este problema se planteará y se resolverá un sistema de ecuaciones

• Sabemos que tenemos un rectángulo en donde su diagonal mide 2 veces más de su lado mayor

• Y conocemos el perímetro del rectángulo que mide 46 cm

Planteando el sistema de ecuaciones

Sabemos que el perímetro del rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir, largo y ancho).

Donde el largo y el ancho son sus lados desiguales de los cuales desconocemos su valor.

$\boxed {\bold {Per\'imetro \ de \ un \ Rect\'angulo = 2 (largo + ancho)}}$

$\boxed {\bold {Per\'imetro \ de \ un \ Rect\'angulo = 2l +2 a}}$

Con esta fórmula plantearemos la primera ecuación, en donde el largo y el ancho serán las variables, donde x = largo (lado mayor) y la variable y será el ancho (lado menor)

Planteamos la primera ecuación

$\boxed {\bold { 2x +2 y = 46}}$

Simplificamos

$\boxed {\bold { x + y = 23}}$  

Vamos a plantear la segunda ecuación

Si la diagonal de un rectángulo se puede calcular a partir de sus dos lados desiguales (en este caso nuestras incógnitas x e y)

Emplearemos la fórmula para hallar la diagonal

$\boxed {\bold {Diagonal \ de \ un \ Rect\'angulo = \sqrt{Largo +\ Ancho } }}$

Reemplazamos por las incógnitas x e y

$\boxed {\bold {D= \sqrt{x +\ y } }}$

Luego

$\boxed {\bold {D^{2} = x^{2} + y^{2} } }}$

Como sabemos que la diagonal del rectángulo es igual a x + 2, reemplazamos y tendremos la segunda ecuación

$\boxed {\bold {(x +2)^{2} = x^{2} + y^{2} } }}$

Despejamos el valor de y en la primera ecuación

$\boxed {\bold { x + y = 23}}$

$\boxed {\bold { y = 23- x}}$

Y sustituimos este valor en la segunda ecuación

$\boxed {\bold {(x +2)^{2} = x^{2} + y^{2} } }}$

$\boxed {\bold {(x +2)^{2} = x^{2} + (23 -x)^{2} } }}$

Desarrollamos la segunda ecuación

$\boxed {\bold {(x +2)^{2} = x^{2} + (23 -x)^{2} } }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (23 -x)^{2} = (x +2)^{2} } }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (23 -x)^{2} = (x +2) (x+2) } }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (23 -x)^{2} = x (x +2)+2 (x+2) } }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (23 -x)^{2} = x^{2} +2x+2x+4 } }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (23 -x)^{2} = x^{2} +4x+4 } }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (23 -x)^{2} -x^{2} -4x=4 } }}$

$\boxed {\bold { (23 -x)^{2} -4x=4 } }}$

$\boxed {\bold { (23 -x) (23-x) -4x=4 } }}$

$\boxed {\bold { 23(23 -x)-x (23-x) -4x=4 } }}$

$\boxed {\bold { 529 -23x-23x+x^{2} -4x=4 } }}$

$\boxed {\bold { 529 -46x+x^{2} -4x=4 } }}$

$\boxed {\bold { x^{2} -50x +525 = 0 } }}$

Tenemos una ecuación de segundo grado

En donde a = 1, b = -50 y c = 525

Empleamos la fórmula cuadrática para hallar los valores de x

$\boxed{\bold {\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a} }}$

$\boxed{\bold { x= \frac{ 50\pm\sqrt{ (50)^{2} -4 \ . (1\ .\ 525) } }{2\ .\ 1} }}$

$\boxed{\bold { x= \frac{ 50\pm\sqrt{ 2500 -4 \ . \ 525 } }{2} }}$

$\boxed{\bold { x= \frac{ 50\pm\sqrt{ 2500 -2100 } }{2} }}$

$\boxed{\bold { x= \frac{ 50\pm\sqrt{ 400 } }{2} }}$

$\boxed{\bold { x= \frac{ 50\pm\sqrt{ 20^{2} } }{2} }}$

$\boxed{\bold {x =\frac{ 50 \pm 20 }{2} }}$

$\boxed{\bold { x =25 \pm 10 }}$

$\boxed{\bold { x_{1} =35 }}$

$\boxed{\bold { x_{2} =15 }}$

Sustituimos los valores de x en la primera ecuación

Si x = 35

$\boxed {\bold { y = 23- 35}}$

$\boxed {\bold { y = -12}}$

No puede tener valor negativo una longitud  

Si x = 15

$\boxed {\bold { y = 23- 15}}$    

$\boxed {\bold { y = 8}}$

El rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho