Question

1. Hallar el valor de "n" si el desarrollo del binomio tiene 10 términos. (x^2+y^7 )^(2n-3) 2.Hallar el coeficiente del tercer término en el desarrollo de: (x^3+y^4 )^5 3.Halle el tercer término en el desarrollo de (x^3+y^4 )^5 4.Indique cuántos términos tiene el desarrollo de: (x^2+y^7 )^11

Answer 1

Hola!

• 1. Hallar el valor de "n" si el desarrollo del binomio tiene 10 términos de $\mathbf{(x^2+y^7 )^{2n-3}}$

Tenemos los siguientes datos:

T (término del desarrollo) = 10º  $\boxed{T_{p+1} = T_{9+1} = T_{10}}$

n (numero de exponente del término) = 2n-3

p (numero de términos de desarrollo) = 9

$a\:(primer\:t\'ermino) = x^2$

$b\:(segundo\:t\'ermino) = y^7$

Aplicamos para la Fórmula del Binomio de Newton

$T_{p+1} = \dbinom{n}{p}*a^{n-p}*b^p$

$T_{9+1} = \dbinom{n}{9}*(x^2)^{(2n-3)-9}*(y^7)^{9}$

$T_{10} = \dbinom{n}{9}*x^{4\:n-6-18}*y^{63}$

$T_{10} = \dbinom{n}{9}*\underbrace{x^{4n-24}}_{segundo\:t\'ermino}*y^{63}$

Hallar el valor de "n"

$4\:n - 24 = 0$

$4\:n = 24$

$n = \dfrac{24}{4}$

$\boxed{\boxed{n = 6}}\:\:\:\:\:\:\bf\green{\checkmark}$

Respuesta:

El valor de "n" es 6

• 2. Hallar el coeficiente del tercer término en el desarrollo de $\mathbf{(x^3+y^4)^5}$

Tenemos los siguientes datos:

T (término del desarrollo) = 3º  $\boxed{T_{p+1} = T_{2+1} = T_3}$

p+1 (término buscado)

n (número de exponente del término) = 5

p (numero de términos de desarrollo) = 2

$a\:(primer\:t\'ermino) = x^3$

$b\:(segundo\:t\'ermino) = y^4$

Aplicamos para la Fórmula del Binomio de Newton

$T_{p+1} = \dbinom{n}{p}*a^{n-p}*b^p$

$T_{2+1} = \dbinom{5}{2}*(x^3)^{5-2}*(y^4)^2$

$T_{3} = \dbinom{5}{2}*(x^3)^3*y^8$

$T_{3} = \underbrace{\dbinom{5}{2}}_{coeficiente}*x^9*y^8$

Por lo tanto, el valor del coeficiente del tercer término en el desarollo, es:

$\dbinom{n}{p} \to \boxed{\dbinom{5}{2}}$

Entonces, tenemos:

$\dbinom{n}{p} = \dbinom{5}{2}$

$\dbinom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!(5-2)!}$

$\dbinom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!3!}$

$\dbinom{5}{2} = \dfrac{5*4*\diagup\!\!\!\!3!}{2*\diagup\!\!\!\!3!}$

$\dbinom{5}{2} = \dfrac{5*4}{2}$

$\dbinom{5}{2} = \dfrac{20}{2}$

$\boxed{\dbinom{5}{2} = 10}}$

Por lo tanto, tenemos:

$T_{3} = \underbrace{10}_{coeficiente}*x^9*y^8$

Respuesta:

El valor del coeficiente es 10

• 3. Halle el tercer término en el desarrollo de $\mathbf{(x^3+y^4 )^5}$

*** Nota: usando el mismo razonamiento que la pregunta anterior

$T_{p+1} = \dbinom{n}{p}*a^{n-p}*b^p$

$T_{2+1} = \dbinom{5}{2}*(x^3)^{5-2}*(y^4)^2$

$T_{3} = \dbinom{5}{2}*(x^3)^3*y^8$

$T_{3} = \dbinom{5}{2}*x^9*y^8$

$\boxed{\boxed{T_{3} = 10\:x^9\:y^8}}\:\:\:\:\:\:\bf\green{\checkmark}$

Respuesta:

El tercer término en el desarrollo es $\underline{\mathbf{10\:x^9y^8}}$

• 4. Indique cuántos términos tiene el desarrollo de $\mathbf{(x^2+y^7 )^{11}}$

Tenemos los siguientes datos:

T (término del desarrollo) = ?  $\boxed{T_{p+1}}$

p (numero de términos de desarrollo) = ?

n (numero de exponente del término) = 11

$a\:(primer\:t\'ermino) = x^2$

$b\:(segundo\:t\'ermino) = y^7$

Aplicamos para la Fórmula del Binomio de Newton

$T_{p+1} = \dbinom{n}{p}*a^{n-p}*b^p$

$T_{p+1} = \dbinom{11}{p}*(x^2)^{11-p}*(y^7)^p$

$T_{p+1} = \dbinom{11}{p}*x^{22-2\:p}*y^{7\:p}$

Hallar el valor de "p"

$22 - 2\:p = 0$

$22 = 2\:p$

$2\:p = 22$

$p = \dfrac{22}{2}$

$\boxed{p = 11}$

Entonces, tenemo:

$T_{11+1} = \dbinom{11}{11}*x^{22-2*11}*y^{7*11}$

$T_{12} = 1*x^{22-22}*y^{77}$

$T_{12} = x^{0}*y^{77}$

$T_{12} = 1*y^{77}$

$\boxed{\boxed{T_{12} = y^{77}}}\:\:\:\:\:\:\bf\green{\checkmark}$

Respuesta:

El desarrollo tiene 12 términos $\mathbf{(T_{12})}$

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$\bf\green{\¡Espero\:haberte\:ayudado,\:saludos...\:Dexteright02!}\:\:\ddot{\smile}$

Answer 2

Respuesta:

Hola!

1. Hallar el valor de "n" si el desarrollo del binomio tiene 10 términos de  

Tenemos los siguientes datos:

T (término del desarrollo) = 10º  

n (numero de exponente del término) = 2n-3

p (numero de términos de desarrollo) = 9

Aplicamos para la Fórmula del Binomio de Newton

Hallar el valor de "n"

Respuesta:

El valor de "n" es 6

2. Hallar el coeficiente del tercer término en el desarrollo de  

Tenemos los siguientes datos:

T (término del desarrollo) = 3º  

p+1 (término buscado)

n (número de exponente del término) = 5

p (numero de términos de desarrollo) = 2

Aplicamos para la Fórmula del Binomio de Newton

Por lo tanto, el valor del coeficiente del tercer término en el desarollo, es:

Entonces, tenemos:

Por lo tanto, tenemos:

Respuesta:

El valor del coeficiente es 10

3. Halle el tercer término en el desarrollo de  

*** Nota: usando el mismo razonamiento que la pregunta anterior

Respuesta:

El tercer término en el desarrollo es  

4. Indique cuántos términos tiene el desarrollo de  

Tenemos los siguientes datos:

T (término del desarrollo) = ?  

p (numero de términos de desarrollo) = ?

n (numero de exponente del término) = 11

Aplicamos para la Fórmula del Binomio de Newton

Hallar el valor de "p"

Entonces, tenemo:

Respuesta:

El desarrollo tiene 12 términos  

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Explicación paso a paso:

gracias xd no me reporten pliz