se construye con alambre un armazón formado por un triangulo grande subdividido en cinco triángulos idénticos cada uno semejante del triangulo grande como se muestra a continuación. Si el lado mas corto de uno de los triángulos mas pequeños mide 1 m ¿cuantos metros de alambre se utilizaron en total para construir dicho armazón? a)20 b)8+4√5 c)10+4√5 d)12+4√5 e) 15+5√5
Respuestas
Se utilizaron 10 + 4√5 metros de alambre en total para construir la armazón triangular y sus subdivisiones.
Se selecciona la opción c):
a)20 b)8+4√5 c)10+4√5 d)12+4√5 e) 15+5√5
Explicación paso a paso:
Los triángulos semejantes son aquellos que tienen los mismos valores en sus ángulos y que, por tanto, sus lados son proporcionales de un triángulo a otro.
En la figura anexa podemos observar un triángulo rectángulo subdividido en 5 triángulos rectángulos iguales y semejantes al triángulo externo original.
En la figura de la izquierda se ha marcado con un número 1 el lado más corto de los lados adyacentes al ángulo recto de cada uno de los triángulos pequeños.
La línea amarilla es el lado largo de los lados adyacentes al ángulo recto de uno de los triángulos pequeños, y se observa que es la suma de los lados cortos de dos de los triángulos. Por ello, en la figura central se marcan con un número 2 todos los lados largos de los lados adyacentes al ángulo recto.
Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa de los triángulos pequeños se calcula:
(hip)² = (CO)² + (CA)² ⇒ (hip)² = (1)² + (2)² ⇒ hip = √5 m
Las hipotenusas de los triángulos pequeños miden √5 m.
El triángulo externo entonces mide: 2√5 m de lado vertical, √5 m de lado horizontal y 5 m de hipotenusa.
¿Cuántos metros de alambre se utilizaron en total para construir dicho armazón?
La longitud total (S) será la suma de los tres lados del triángulo azul, los tres lados del triángulo rojo y el segmento amarillo:
S = (2√5 + √5 + 5) + (1 + 2 + √5) + (2) = 10 + 4√5 m
Se utilizaron 10 + 4√5 metros de alambre en total para construir la armazón triangular y sus subdivisiones.
