Question

Desde lo alto de un edificio de 16 m de altura se ve un punto de tierra con ángulo de depresión de 53°. Determine la distancia del punto de la Torre. A. 10m B. 12m C. 18m D. 14m E. 16m Plisss

Answer 1

La distancia del edificio hasta el punto en tierra es de 12 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Por ejemplo si se tuvieran los lados 1 k y 2 k, se puede decir que el lado 2 k es el doble del lado 1 k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad. (Como se verá al resolver el ejercicio).

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto,

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del edificio,el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el edificio hasta cierto punto en tierra y el lado AC que es la proyección visual desde el observador hasta el punto en tierra bajo un ángulo de depresión de 53°.

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la altura del edificio, y de un ángulo de depresión de 53° desde el punto de observación hasta cierto punto en la tierra

• Altura del edificio = 16 m

• Ángulo de depresión = 53° (ángulo notable)

• Debemos hallar la distancia desde el edificio hasta un punto en tierra

Vamos a relacionar estos datos con la tangente

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

Planteamos

$\boxed {\bold{tan(53)\° = \frac{cateto \ opuesto}{cateto \ adyacente} =\frac{AC}{BC} }}$

$\boxed {\bold{tan(53)\° = \frac{altura\ del \ edificio}{distancia\ del\ edificio\ al \ punto} =\frac{AC}{BC} }}$

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) =\frac{altura\ del \ edificio} {tan(53)\° } }}$

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) =\frac{16 \ metros} {tan(53)\° } }}$

Si

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) =\frac{16 \ metros} {\frac{4}{3} } }}$  

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) =16 \ metros\ . {\frac{3}{4} } }}$

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) =12 \ metros } }}$

La distancia desde el edificio hasta el punto en tierra = 12 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del edificio tiene un valor de 16 metros

La altura del edificio es el cateto opuesto al ángulo notable de 53°

Planteamos

$\boxed{ \bold {\ altura \ del \ edificio =16 \ metros = 4k}}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed{ \bold { 4k=16 \ metros }}$

$\boxed{ \bold { k= \frac{16 \ metros }{4} }}$

$\boxed{ \bold { k= 4 }}$

El valor de la constante k es 4

Al ser un triángulo notable el valor del cateto adyacente- que es la distancia desde el edificio a cierto punto en la tierra- equivale a 3k

Que es la distancia que nos piden hallar

Planteamos

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) = 3k }}$

Reemplazando

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) = 3\ . \ 4 }}$

$\boxed {\bold{distancia\ del\ edificio\ al \ punto (BC) = 12\ metros }}$