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1. Factorizaci´on
Introducci´on Dados dos polinomios p(x) y q(x), ya se tiene como calcular el producto p(x)q(x). El
objetivo en esta parte es hacer el procedimiento en sentido contrario, es decir, dado un polinomio, como
escribirlo como producto de otros polinomios
Definici´on 1.1 .
1. La factorizaci´on es el proceso de expresar sumas (restas) de t´erminos (polinomios) en forma de
productos.
2. A los t´erminos que forman los productos se les llama factores del polinomio original.
3. Se dice que un factor es irreducible, si no se puede descomponer como producto de otros factores de
grado mayor o igual a 1.
4. Se dice que un polinomio est´a completamente factorizado, cuando se expresa como un producto de
factores irreducibles.
Ejemplo 1.2 .
1. Como 3x
2
(2x − 3) = 6x
3 − 9x
2
, as´ı 3x
2 y 2x − 3 son factores del polinomio 6x
3 − 9x
2
.
2. Ya que (x+3)(x−4) = x
2−x−12, podemos decir que la factorizaci´on de x
2−x−12 es (x+3)(x−4).
3. Para el polinomio x
4 − 1 se tiene que x
2 + 1 y x
2 − 1 son factores, ya que (x
2 − 1)(x
2 + 1) = x
4 − 1;
sin embargo uno de estos factores no es irreducibles, ya que (x
2 − 1) a su vez puede ser factorizado
como (x + 1)(x − 1), as´ı x
4 − 1 = (x
2 + 1)(x + 1)(x − 1) queda completamente factorizado.
Observaci´on: Se debe tener en cuenta respecto a que conjunto se est´a factorizando, por ejemplo el
polinomio x
2 − 2 no factoriza en el conjunto de los n´umeros enteros, sin embargo en el conjunto de los
n´umeros reales x
2 − 2 se puede factorizar como (x +
√
2)(x −
√
2). En estas notas vamos a considerar
factorizaci´on sobre los reales.
Observaci´on: Existen diversos m´etodos para factorizar polinomios, a continuaci´on listamos algunos
de ellos, que son los mas utilizados en este curso.
1
1.1. Factor Com´un
Este caso de factorizaci´on se basa en la propiedad distributiva (a(x ± y) = ax ± ay); a no es mas que
el m´aximo com´un divisor de los t´erminos, es decir, los factores comunes con su menor exponente, as´ı al
factorizar se tiene ax ± ay = a(x ± y)
Ejemplo 1.3 Factorizar las siguientes expresiones:
1. 18x
3y
6 − 12x
5y
4
, el mcd entre los monomios es 6x
3y
4
, as´ı que este es el factor com´un luego se
buscan los monomios por los que hay que multiplicar para obtener el polinomio original, de donde,
18x
3y
6 − 12x
5y
4 = 6x
3y
4
(3y
2 − 2x
2
)
2. 15x
3y + 5x
2 = 5x
2
(3xy + 1)
3. 50a
3
bc4 + 30a
2
b
3
c
3 − 15a
4
c
2 − 25a
7
c
3 = 5a
2
c
2
(10abc2 + 6b
3
c − 3a
2 − 5a
5
c)
4. 3xy(a − 2b) + 6x
2
(a − 2b) = 3x(a − 2b)(y + 2x)
1.2. Factor Com´un por Agrupaci´on
En ocasiones no es posible obtener un factor com´un de una expresi´on dada, sin embargo se pueden
agrupar algunos t´erminos y despu´es de algunas operaciones lograr factorizar.
Observaci´on: Este caso se aplica si hay por lo menos 4 t´erminos.
Ejemplo 1.4 1. Factorizar 2y
2 − yz + 6y − 3z
Soluci´on:
2y
2 − yz + 6y − 3z = (2y
2 + 6y) + (−yz − 3z) agrupaci´on de t´erminos
= 2y(y + 3) − z(y + 3) factor com´un en cada grupo
= (y + 3)(2y − z) factor com´un
2. Factorizar 6ax − 4bx − 9ay + 6by
Soluci´on:
6ax − 4bx − 9ay + 6by = (6ax − 4bx) + (−9ay + 6by) agrupaci´on de t´erminos
= 2x(3a − 2b) − 3y(3a − 2b) factor com´un en cada grupo
= (3a − 2b)(2x − 3y) factor com´un
3. Factorizar ax3 + ax − bx2 − b + x
2 + 1
Soluci´on:
ax3 + ax − bx2 − b + x
2 + 1 = (ax3 + ax) + (−bx2 − b) + (x
2 + 1) agrupaci´on de t´erminos
= ax(x
2 + 1) − b(x
2 + 1) + 1(x
2 + 1) factor com´un en cada grupo
= (x
2 + 1)(ax − b + 1) factor com´un
Explicación paso a paso: