Question

un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. si se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados, se emplea 261 arboles mas cuando los cuadrados son de 2 m de lado , que cuando son de 4 m . ¿hallar el lado del terreno?

Answer 1

Si lo dividimos en 4 cuadrados, tendremos 9 vertices, o sea 3² vertices

Si lo dividimos en 9 cuadrados, tendremos 16 vertices, o sea 4² vertices

En resumen si lo dividimos en x² cuadrados, tendremos (x+1)² vertices.

Ahora en tu problema sabemos que el lado del cuadrado mide x metros, asi que lo que uqeremos hallar será x.

Si cada lado de los cuadrados miden 2 metros, deberian haber (x/2)² cuadrados, pero si cada lado del cuadrado midiera 4 metros habrian (x/4)² de cuadrados...

Ahora por lo inicial sabemos que en (x/2)² cuadrados hay (x/2 + 1)² vertices.

Y en (x/4)² cuadrados, hay (x/4 + 1)² vertices.

Ahora por tu dato sabemos que si usaramos R arboles en los cuadrados de 4m de lado, tendriamos que usar R + 261 arboles en los cuadrados de 2m de lado.

O sea:

En (x/4)² cuadrados usaremos R arboles.
En (x/2)² cuadrados usaremos R+261 arboles.

O sea que la diferencia es:

(x/2)² - (x/4)² = 261.......(expresion 1)

Pero como vimos anteriormente: en (x/2)² se necesitan (x/2 + 1)² arboles. En (x/4)² se necesitan (x/4 + 1)² arboles.

Reemplazamos en la expresion 1 porque alli estamos hablando de los arboles que van en los vertices.

=> (x/2 + 1)² - (x/4 + 1)² = 261

Resolvemos: (x + 2)² / 2² - (x + 4)² / 4² = 261

Homogenizamos todo multiplicando por 4²

=> (x+2)² (2)² - (x+4)² = 261 (4²)

Resolvemos a este monstruo:

4(x² + 4x + 4) - (x² + 8x + 16) = 4176

4x² + 16x + 16 - x² - 8x - 16 = 4176

=> 3x² + 8x - 4176 = 0

Aplicando formula general:
............______
-b +/- √b² - 4ac
---------------------
.........2a

Primera raiz: (-8 + 224)/6
Segunda raiz: (-8 - 224)/6

=> Primera raiz: 216/6 = 36
=> Segunda raiz: -232/6 = -38,666666...

Descartamos la segunda y nos quedamos con: 36.

=> x = 36.

El lado del terreno será: 36metros