Question

Un poste está inclinado en dirección contraria al sol a 7° de la vertical. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 51°, el poste proyecta una sombra de 47 pies. ¿Cuál es la longitud del poste?

Answer 1

La longitud del poste inclinado es de aproximadamente 50.78 pies

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo acutángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura del poste inclinado, el lado AC (b) que equivale a la longitud de la sombra que proyecta el poste inclinado sobre la línea del suelo y el lado AB (c) que es la proyección visual hasta el extremo superior del poste visto con un ángulo de elevación al sol de 51°  

Donde se pide hallar la longitud del poste inclinado

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo acutángulo ABC

Denotamos al ángulo de elevación al sol dado por enunciado de 51° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 51^o }}$

Hallamos el valor del ángulo C al cual denotamos como γ  - para conocer la inclinación del poste-

Donde dado lo que dice el enunciado, consideramos que el poste tiene un ángulo de inclinación hacia el oriente de 7° respecto a la vertical

Luego sucede que el poste con tal inclinación se aleja 7° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo

Por tanto:

Si el poste no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este problema al inclinarse el poste en el sentido horario debemos restar la inclinación de 7° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical de 90°

Teniendo;

$\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o -\ 7^o = 83^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo B al cual denotamos como β

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 51^o+ 83^o + \beta }}$

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 51^o- 83^o }}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 46 ^o }}$

Determinamos la longitud del poste inclinado empleando el teorema del seno

Hallando el valor del lado BC (a)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ a }{ sen(51^o ) } = \frac{ 47 \ pies }{sen(46 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 47\ pies \ . \ sen(51^o ) }{sen(46^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 47\ pies \ . \ 0.777145961457 }{0.719339800339 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 36.525860188479 }{ 0.719339800339 } \ pies}}$

$\boxed { \bold { a\approx 50.7769 \ pies }}$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed { \bold { a \approx 50.78 \ pies }}$

La longitud del poste inclinado es de aproximadamente 50.78 pies

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas