Question

Sea A(n) el área de un polígono regular de n-lados inscrito en un círculo de radio 1. ¿A qué valor se aproxima A(n) cuando toma valores cada vez más grandes?

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Answer 1

1) Primero hallamos el área triángulo del ángulo central de tal polígono de lado n:

• ángulo central = $\dfrac{2\pi}{n}$

• área del triángulo = $\dfrac{1}{2}R^2 \sin \dfrac{2\pi}{n}$

2) El área del polígono es la suma de esos n triángulos

                                          $A(n)=\dfrac{R^2}{2}n\sin\dfrac{2\pi}{n}$

3) ¿qué pasa cuando n crece indefinidamente?

                                     $A=\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{R^2}{2}n\sin\dfrac{2\pi}{n}\\ \\ \\A=\dfrac{R^2}{2}\lim\limits_{n\to+\infty} n\sin\dfrac{2\pi}{n}\\ \\ \\A=\dfrac{R^2}{2}\lim\limits_{n\to+\infty} 2\pi\cdot \dfrac{\sin\dfrac{2\pi}{n}}{\dfrac{2\pi}{n}}\\ \\ \\A=\dfrac{R^2}{2}\cdot 2\pi\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{\sin\dfrac{2\pi}{n}}{\dfrac{2\pi}{n}}\\ \\ \\A=\pi R^2\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{\sin\dfrac{2\pi}{n}}{\dfrac{2\pi}{n}}\\ \\ \\\shadowbox{A=\pi R^2}$