Question

demostrar las siguientes identidades geométricas: ( ayuda por favor :"))
1)
$\frac{ \sin(x) + \cos(x) }{ \sin(x) } = \frac{1}{ \tan(x) }$
2)
$\frac{ \sin(x) }{\csc(x) } + \frac{ \cos(x) }{ \sec(x) } = 1$
3)
$\frac{ \sec(x) }{ \tan(x) + \cot(x) } = sen \: x$
4)
$\tan(x) + \cot(x ) = \frac{ \csc(x) }{ \cos(x) }$
​

Answer 1

Respuestas y  explicación paso a paso:

1)  $\frac{\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}=\frac{1}{\tan \left(x\right)}$

Comprobando cada uno

$=\frac{\sin \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}+\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}$

$=1+\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}$

Por lo que:

$1+\cot \left(x\right)$

$1+\cot \left(x\right)=\frac{1}{\tan \left(x\right)}$ ----------- es incorrecto(falso)

**solo seria correcto si a   $\frac{1}{\tan \left(x\right)}$   se le suma 1 osea: $\frac{1}{\tan \left(x\right)}+1$ **

2) $\frac{\sin \left(x\right)}{\csc \left(x\right)}+\frac{\cos \left(x\right)}{\sec \left(x\right)}=1$

$\mathrm{Manipular\:el\:lado\:derecho}$

$\mathrm{Expresar\:con\:seno,\:coseno}$

$=\frac{\cos \left(x\right)}{\frac{1}{\cos \left(x\right)}}+\frac{\sin \left(x\right)}{\frac{1}{\sin \left(x\right)}}$

$\mathrm{Simplificar}\:\frac{\cos \left(x\right)}{\frac{1}{\cos \left(x\right)}}+\frac{\sin \left(x\right)}{\frac{1}{\sin \left(x\right)}}:\quad \cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)$

$=\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)$

$\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)=1$

$=1$

$1=1$

$\frac{\sin \left(x\right)}{\csc \left(x\right)}+\:\frac{\cos \left(x\right)}{\sec \left(x\right)}=1$ --------- es correcto (verdadero)

3) $\frac{\sec \left(x\right)}{\tan \left(x\right)+\cot \left(x\right)}=\sin \left(x\right)$

$\mathrm{Manipular\:el\:lado\:derecho}$

$\frac{\sec \left(x\right)}{\tan \left(x\right)+\cot \left(x\right)}$

$\mathrm{Expresar\:con\:seno,\:coseno}$

$=\frac{\frac{1}{\cos \left(x\right)}}{\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}+\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}}$

$\mathrm{Simplificar}\:\frac{\frac{1}{\cos \left(x\right)}}{\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}+\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}}:\quad \frac{\sin \left(x\right)}{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}$

$=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}$

$\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)=1$

$=\sin \left(x\right)$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(x\right)$

$\frac{\sec \left(x\right)}{\tan \left(x\right)+\cot \left(x\right)}=\sin \left(x\right)$ ---------- es correcto(verdadero)

4) $\tan \left(x\right)+\cot \left(x\right)=\frac{\csc \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

$\mathrm{Manipular\:el\:lado\:derecho}$

$=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}+\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

$\mathrm{Simplificar}\:\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}+\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}:\quad \frac{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}{\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)}$

$=\frac{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}{\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)}$

$\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)=1$

$=\frac{1}{\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)}$

$\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad:}\:\sin \left(x\right)=\frac{1}{\csc \left(x\right)}$

$=\frac{1}{\cos \left(x\right)\frac{1}{\csc \left(x\right)}}$

$\mathrm{Simplificar}\:\frac{1}{\cos \left(x\right)\frac{1}{\csc \left(x\right)}}:\quad \frac{\csc \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

$=\frac{\csc \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

$\frac{\csc \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}=\frac{\csc \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$ ------------- es correcto(verdadero)