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Respuesta:
. Presentaci´on
El presente material pretende ser una gu´ıa para el estudiante que participa en II o III nivel de la
Olimpiada Costarricense de Matem´atica, que corresponde a estudiantes de octavo a duod´ecimo
a˜no de colegio. Con ´el se busca que el estudiante conozca el tipo de problemas de Teor´ıa de
N´umeros a los que se va a enfrentar en la I Eliminatoria de esta olimpiada. Es importante
mencionar que el estudiante debe conocer como requisito el material de ´algebra debido a que
en el desarrollo de los ejercicios se requiere de su uso. En la siguiente secci´on se presenta el
temario completo de Teor´ıa de N´umeros para tener una visi´on global de los contenidos que debe manejar para resolver los ejercicios de esta eliminatoria en el Nivel II y III. Posteriormente
se desglosan estos temas y se hace un resumen de los conceptos matem´aticos y propiedades
m´as relevantes del temario; adem´as se ofrece una serie de ejemplos y ejercicios, tomados de
las primeras eliminatorias de a˜nos anteriores, de modo que se observe c´omo se aplica dicha
materia a problemas concretos. Adem´as, los ejercicios “aunque se tomaron de ambos niveles”
est´an enfocados al temario del II nivel.
2. Temario
Concepto de divisibilidad: divisor, m´ultiplo. Propiedades. El algoritmo de la divisi´on. N´umeros primos y compuestos. El teorema fundamental de la aritm´etica (descomposici´on can´onica).
Reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11. Obtener los divisores positivos de un
n´umero natural. M´aximo com´un divisor. M´ınimo com´un m´ultiplo. Notaci´on desarrollada de un
n´umero en base 10.
3. Divisibilidad
Sean a, b enteros, se dice que a es divisible por b (o que b es un divisor de a, o b divide a a, o a
es un m´ultiplo de b) y se denota b|a si existe el entero c tal que a = b · c . Si b no divide a a se
escribe b / a | .
Tenemos entonces que: b|a ⇔ ∃ c, c ∈ Z tal que a = b · c
As´ı, −9|54 pues 54 = −9 · −6 y 5|0 pues 0 = 5 · 0
Adem´as, si 2|a se dice que a es par y se expresa de la forma a = 2b con b enter
Explicación paso a paso: