Question

por fa ayúdenme con esta ecuación exponencial$\frac{5^{2}+5^{x+1} }{5^{3}-5^{x-1}}=6,5$

Answer 1

Explicación paso a paso:

Primero elevamos las bases con las respectivas potencias:

$\frac{25 + 5^{x} \times {5}^{1} }{125 - {5}^{x} \times {5}^{ - 1} } = 6.5$

Notamos que escribimos el 5^X-1 y el 5^x+1 en forma de producto, esto es porque cuando tenemos producto de bases iguales sus potencias se suman.

Hacemos un cambio de variable:

5^x = t

Luego transformamos el 5^-1

$\frac{25 + 5t}{125 - \frac{1}{5}t } = 6.5$

Resolvemos la fracción del denominador:

$\frac{25 + 5t}{ \frac{625 - t}{5} } = 6.5$

Resolvemos la fracción compleja:

$\frac{5 \times (25 + 5t)}{625 - t} = 6.5$

$\frac{125 + 25t}{625 - t} = 6.5$

Pasamos el denominador a multiplicar con el 6.5

$125 + 25t = 6.5 \times (625 - t)$

$125 + 25t = 4062.5 - 6.5t$

Agrupamos los términos semejantes

$25t + 6.5t = 4062.5 - 125$

$31.5t = 3937.5$

Pasamos el 31.5 a dividir al 3937.5 para obtener t

$t = 125$

Perp teníamos que: 5^x = t

${5}^{x} = 125$

Descomponemos el 125 en 5³

${5}^{x} = {5}^{3}$

Bases iguales en ambos lados de una igualdad se anulan, y tendremos:

$x = 3$

Answer 2

Resuelvo la ecuación exponencial de dos maneras.

1)

Pasando el denominador al otro miembro,

$5^2 + 5^{x+1} = 6.5(5^3 - 5^{x-1})$

y como el producto (o cociente) de potencias de misma base es la suma (o diferencia) de los exponentes resulta que,

$5^{x+1} = 5\cdot 5^x$

y

$5^{x-1} = \frac{5^x}{5}$

luego la ecuación puede escribirse en la forma

$5^2 + 5\cdot 5^x = 6.5(5^3 - \frac{5^x}{5} )$

o

$25 + 5\cdot5^x = 6.5 \cdot 125 - \frac{6.5}{5} 5^x$

y multiplicando por 5 para quitar el denominador,

$125 + 25\cdot 5^x = 6.5 \cdot 625 - 6.5\cdot 5^x$

$(25 + 6.5)5^x = 6.5\cdot 625 - 125 = 3937,5$

$31,5\cdot5*x = 3937,5\\\\5^x = \frac{3937,5}{31.5} = 125 = 5^3$

y, por igualdad entre los exponentes, x = 3.

2)

Si hacemos

$5^{^x-1} = z$

es

$5^{x+1} = 5^{x-1+2} = 25\cdot 5^{x-1} = 25z$

y la ecuación queda

$\frac{25+25z}{125-z} =6.5$

o sea,

$25 + 25z =6.5(125-z) = 812.5 - 6.5z\\\\31.5z = 787.5\\\\z = \frac{787,5}{31.5} =25$

luego

$5^{x-1} = 25 = 5^2$

y

x = 3