(AYUDA!!!! PUEDO PAGAR)
Se lanza verticalmente y hacia arriba un cuerpo con una rapidez de 50 m/s. Calcular: a) La rapidez a los 3 s del lanzamiento. b) La rapidez cuando haya subido 80 m. c) La altura alcanzada. d) El tiempo que tarda en subir. e) La altura a la cual se encuentra del suelo a los 3 s. f) La altura que ha subido cuando lleve una rapidez de 25m/s.
Respuestas
Se trata de un problema de lanzamiento vertical.
1) Vamos a definir las ecuaciones de cinemática (MRUA) para aceleración constante.
a(t)=cte
a(t)=aceleración en función del tiempo [m/s²]
cte=constante
v(t)=at+vo
v(t)=velocidad en función del tiempo [m/s]
a=aceleración [m/s²]
t=tiempo [s]
vo=velocidad inicial [m/s]
r(t)=½at²+vot+ro
r(t)=posición en función del tiempo [m]
a=aceleración [m/s²]
t=tiempo [s]
vo=velocidad inicial [m/s]
ro=posición inicial [m]
Empecemos a resolver.
1) Datos:
Vo=50 [m/s]
g=9.8 [m/s²]
a=-9.8 [m/s²]
ro=0 [m]
Nota: La aceleración es constante y es el valor de la gravedad pero negativo ya que la gravedad se opone al movimiento.
Nota 2: La posición inicial es cero ya que el problema no dice lo contrario.
2) Ecuacion de velocidad
v(t)=at+vo
v(t)=-9.8t+50 [m/s]
3) Ecuación de posición
r(t)=½at²+vot+ro
r(t)=-½(9.8)t²+50t+0 [m]
r(t)=-4.9t²+50t [m]
4) Resolviendo incisos.
a) La rapidez a los "3s" del lanzamiento.
v(t)=-9.8t+50 [m/s]
v(3)=-9.8(3)+50 [m/s]
v(3)=20.6 [m/s]
b) La rapidez cuando haya subido "80" metros
Para este inciso lo que debemos hacer es calcular primero que nada el tiempo que tarda en subir los "80" metros para después sustituír ese tiempo en la función de velocidad.
r(t)=-4.9t²+50t [m]
r(t)=80
80=-4.9t²+50t
Despejamos "t"
4.9t²-50t+80=0
Resolvemos con la fórmula general para ecuaciones cuadráticas
Nota: Como está pregunta es muy larga yo la resolveré con calculadora pero tú hazlo manual
t≈1.987
t≈8.21
Salieron dos raíces positivas, y eso es por qué.
1) Primero se lanza el cuerpo hacia arriba y alcanza los 80 [m] luego sigue subiendo hasta llegar a su punto más alto, inmediatamente cuando llega a su punto más alto empieza a bajar y vuelve a pasar por "80" metros.
Vamos a calcular la velocidad cuando sube 80 metros. (no cuando baja) y para eso usamos el tiempo más pequeño.
v(t)=-9.8t+50 [m/s]
v(1.987)=-9.8(1.987)+50 [m/s]
v(1.987)=30.53 [m/s]
c) La altura alcanzada (supondré que es la altura máxima).
Para ello se usa la fórmula.
rmax=vo²/2g
rmax=(50)²/2(9.8)
rmax=127.55 [m]
d) El tiempo que tarda en subir (supondré que en subir a la altura máxima).
Nota: Debes imaginarte está situación.
La velocidad disminuye conforme el objeto va subiendo, al subir a la altura máxima la velocidad es "0" e inmediatamente empieza a caer, entonces la condición de altura máxima es v(t)=0
v(t)=0
v(t)=-9.8t+50 [m]
0=-9.8t+50
9.8t=50
t=50/9.8
t=5.10 [s]
Nota importante: La altura máxima se puede calcular sustituyendo el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima en la función de posición.
r(t)=-4.9t²+50t [m]
r(5.10)=-4.9(5.10)²+50(5.10)
r(5.10)=127.55 [m]
Cómo podemos ver todo es super coherente.
e) La altura a la cual se encuentra del suelo a los "3" segundos
Basta con sustituír "3" segundos en la función de posición.
r(t)=-4.9t²+50t [m]
r(3)=-4.9(3)²+50(3) [m]
r(3)=-4.9(9)+150 [m]
r(3)=105.9 [m]
f) La altura que ha subido cuando lleve una rapidez de 25 [m/s]
Primero debemos calcular el tiempo en que la velocidad es "25" y luego sustituir ese tiempo en la función de posición.
v(t)=-9.8t+50
v(t)=25
25=-9.8t+50
Despejando "t"
9.8t=50-25
9.8t=25
t=25/9.8
t=2.55 [s]
Ahora ese tiempo lo sustituimos en la función de posición.
r(t)=-4.9t²+50t [m]
r(2.55)=-4.9(2.55)²+50(2.55)
r(2.55)=95.64 [m]
Y queda resuelto todo el ejercicio.