Question

Calcula la longitud del exradio relativo al cateto menor de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 24cm y 32cm. (exradio se refiere al radio de la circunferencia trazada exterior al triángulo)

Answer 1

Respuesta: 16 cm

Explicación paso a paso:

Primeramente calculamos la hipotenusa por el teorema de pitágoras:

h² = a²+b²

h² = 24²+32²

h² = 576+1024

h² = 1600

h = √1600

h = 40 cm

Solución 1:

Sabemos que el área de un triángulo en función de su exradio relativo al menor lado está dada por:

$A=r_a\dfrac{b+h-a}{2}$

Pero sabemos que para un triángulo rectángulo se cumple que:

$A=\dfrac{a\cdot b}{2}$

Igualando las expresiones:

$r_a\dfrac{b+h-a}{2}=\dfrac{ab}{2}\\\\r_a(b+h-a)=ab}\\\\r_a =\dfrac{ab}{b+h-a}\\\\r_a=\dfrac{24(32)}{32+40-24}\\\\\boxed{r_a=16\;cm}$

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Solución 2:

Existe una ecuación directa para calcular el exradio en función del semiperímetro del triángulo. El semiperímetro es:

p = (24 + 32 + 40)/2 = 48 cm

La expresión es:

$r_a=\sqrt{\dfrac{p(p-b)(p-c)}{p-a}} \\\\r_a=\sqrt{\dfrac{48(48-32)(48-40)}{48-24}} \\\\\boxed{r_a = 16\;cm}$