Un proyectil, que lanzamos verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 200 m/s, se mueve según la trayectoria modelada por la siguiente ecuación h = f(t) = 200t – 5t2, donde h es la altura a la que se encuentra en cada instante (t). ¿Cuál es el tiempo de vuelo del proyectil?
Respuestas
Respuesta: 40s
Explicación paso a paso:
"Recordemos la fórmula de factorización": ax² + b + c
Nos da: f(t)= 200t-5t²
Ordenarlo como la fórmula :
-ax² - b + c
-5t² - 200t + 0
x= t
a=-5
b=200
c=0
Fórmula de vértice : x= -b/ 2a
"Reemplazar": t= -200/ 2(-5)
Resolver: t= -200/ -10 (Eliminar negativos) t= 200/10 = 20
20 + 20 = 40
20 (tiempo de subida) + 20(tiempo de bajada ) = 40 (tiempo de vuelo)
Respuesta : El tiempo del vuelo del proyectil es 40.
El tiempo de vuelo del proyectil, desde su partida a 200 m/s hasta que regresa al suelo, será de 40 segundos.
Explicación paso a paso:
El proyectil es lanzado desde el suelo y sigue una trayectoria parabólica dada por:
h = f(t) = 200t – 5t²
donde h es la altura a la que se encuentra en cada instante de tiempo (t).
Se sabe que el movimiento ascendente del proyectil es un movimiento desacelerado por la acción de la gravedad, y que el proyectil alcanza su altura máxima (vértice de la parábola) cuando la velocidad sea nula. De allí en adelante, por caída libre, replica la trayectoria de subida pero con un movimiento acelerado hasta que toca el suelo.(ver figura)
El tiempo de vuelo es la suma del tiempo que le lleva alcanzar la altura máxima y el tiempo que le lleva regresar al suelo. Ambos tiempos son iguales; por lo que se calcula el tiempo del ascenso y se multiplica por 2.
Ahora bien, se sabe que la velocidad del proyectil (v) es función del tiempo y viene dada por la derivada de primer orden de la función trayectoria, es decir
v(t) = h’(t) = (200t – 5t²)’ = 200 - 10t
A partir de la función velocidad podemos conocer el tiempo del ascenso, pues la altura máxima se alcanza cuando la velocidad es nula:
v = 0 ⇒ 0 = 200 - 10t ⇒ t = 20 s
El tiempo del ascenso es de 20 segundos y, como se dijo antes, el tiempo de vuelo es el doble:
Tiempo de vuelo del proyectil = 2*(20 s) = 40 s
El tiempo de vuelo del proyectil será de 40 segundos.
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