Question

Santiago está construyendo una casita de juegos para sus hijos. Para hacer el techo,
corta una madera de 2,50 metros de largo en tres partes y forma un triángulo. Uno de los lados mide 0,70 metros y el otro 1,20 metros. ¿Cuál es la medida de los ángulos del triángulo?

Answer 1

La medida de los ángulos del triángulo que conforman el techo de la casita de juegos es de aproximadamente : α ≅ 20° 92 ', β ≅ 24° 61' y γ ≅ 134° 43'

 

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno y luego el teorema del seno.

Primero vamos a hallar el valor del lado desconocido del triángulo

Si la madera mide 2,50 metros y se ha cortado en tres partes y conocemos el valor de dos de ellas

Planteamos

$\boxed {\bold { 2,50 \ metros- 070 \ metros - 1,20 \ metros = 0,60 \ metros}}$

El tercer lado del triángulo mide 0,60 metros

Entonces tenemos un triángulo conformado por los lados del techo de la casita de juegos.

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Teorema del Coseno

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados opuestos a estos ángulos respectivamente,

Entonces se cumplen las relaciones

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} +c^{2} - 2 \ . \ b\ . \ c \ . \ cos(\alpha )}}$

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} +c^{2} - 2 \ . \ a\ . \ c \ . \ cos(\beta )}}$

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ a\ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Donde si

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ a\ . \ b \ . \ cos(\gamma )}}$

Podemos expresar

$\boxed {\bold {cos( \gamma) = \frac{ a^{2} + b^{2} -c^{2} }{ 2\ . \ a\ . \ b } }}$

Hallando el valor del ángulo γ (C)

$\boxed {\bold {cos( \gamma) = \frac{ a^{2} + b^{2} -c^{2} }{ 2\ . \ a\ . \ b } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold {cos( \gamma) = \frac{ 0,60^{2} + 0,70^{2} -1,20^{2} }{ 2\ . \ 0,60\ . \ 0,70 } }}$

$\boxed {\bold {cos( \gamma) = \frac{ 0,36 + 0,49 - 1,44 }{ 2\ . \ 0,60\ . \ 0,70 } }}$

$\boxed {\bold {cos( \gamma) = \frac{ - 0,59 }{ 0,84 } }}$

$\boxed {\bold {cos( \gamma) = -\frac{ 0,59 }{ 0,84 } }}$

$\boxed {\bold {cos( \gamma) = -0,70 }}$

$\boxed {\bold { \gamma =arccos( -0,70) }}$

$\boxed {\bold { \gamma \approx 134\° 43' }}$

El valor del ángulo γ es ≅ 134° 43'

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación

$\boxed {\bold {\frac{a}{sen(\alpha) } =\frac{b}{sen(\beta) } =\frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo α (A)

$\boxed {\bold {\frac{a}{sen(\alpha) } =\frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold {\frac{0,60}{sen(\alpha ) } =\frac{1,20}{sen(134\° 43')} }}$

$\boxed {\bold { sen(\alpha) = \frac{0,60\ . \ sen(134\° 43')}{1,20} }}$                      

$\boxed {\bold { sen(\alpha) = \frac{0,60\ . \ 0,71406}{1,20} }}$

$\boxed {\bold { sen(\alpha) = \frac{0,428436}{1,20} }}$

$\boxed {\bold { sen(\alpha) = 0,35703 }}$

$\boxed {\bold { \alpha = arcsen (0,35703) }}$

$\boxed {\bold { \alpha \approx 20\° 92' }}$

El valor del ángulo α es ≅ 20° 92'

Hallando el valor del ángulo β (B)

$\boxed {\bold {\frac{b}{sen(\beta) } =\frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold {\frac{0,70}{sen(\beta) } =\frac{1,20}{sen(134\° 43')} }}$

$\boxed {\bold { sen(\beta) = \frac{0,70\ . \ sen(134\° 43')}{1,20} }}$

$\boxed {\bold { sen(\beta) = \frac{0,70\ . \ 0,71406}{1,20} }}$

$\boxed {\bold { sen(\beta) = \frac{0,499842}{1,20} }}$

$\boxed {\bold { sen(\beta) = 0,416535 }}$

$\boxed {\bold { \beta = arcsen (0,416535) }}$

$\boxed {\bold { \beta \approx 24\° 61' }}$

El valor del ángulo β es ≅ 24° 61'