Escribe en tu cuaderno el concepto de número racional y clasifica los números de la parte superior entre enteros y racionales
Respuestas
Respuesta:
Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.
Algunos ejemplos son...
- 142
- 3133
- 10
- 31
- 69,96 (1749/25)
- 625
- 7,2 (36/5)
Respuesta:
la construcción del concepto de número entero a partir
del producto cartesiano N × N. Comienza el tema con una referencia histórica sobre el mencionado concepto, continúa con una formalización de la estructura del
conjunto de los Números Enteros .
Explicación paso a paso:
Los números enteros son una extensión de los números naturales, formada por los
propios números naturales no nulos (1, 2, 3...), sus correspondientes negativos (-1,
-2, -3...) y cero (0). El conjunto de todos los enteros se denota per la letra Z, por ser
la primera de la palabra «número», en alemán zahl, y se representa por:
Z: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
Los enteros engloban a los números naturales y, al mismo tiempo, son un subconjunto de los números racionales. En la figura 1 se puede ver una representación de
estas relaciones de inclusión.
Donde Q representa los números racionales, I los irracionales y la unión de los
racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales, R.
Así pues, primero hay que considerar el conjunto definido por el producto cartesiano N × N donde N es el conjunto de los números naturales:
Gráficamente este conjunto sería una red de puntos graduada, que comenzaría en (0,0) y tendería a infinito.
De la misma manera que en el plano cartesiano, la primera coordenada corresponde al eje X y la segunda al eje Y, por tanto, es fácil observar que todos los pares de
naturales situados en la misma columna comparten la primera coordenada y, si se
encuentran en la misma fila, comparten la segunda.
Pero hay una tercera manera de observarlos, no tan evidente, que nos permitirá
la construcción de los números enteros: es la que considera los pares situados en
la diagonal con origen en (0,0) o en cualquiera de las direcciones paralelas a ella
(Colectivo Periódica Pura, 1982). Consideramos dicha diagonal, cuyos elementos
serían de la forma (0,0), (1,1), (2,2) y sus paralelas.
Si tomamos dos puntos cualesquiera, (a,b) y (c,d), de una de estas semirrectas se
puede comprobar que a + d = b + c. Por ejemplo, al tomar de dicha diagonal (0,0)
y (1,1), se cumple que 0 + 1 = 0 + 1; si cogemos (1,1) y (5,5), se cumple que 1 +
5 = 1 + 5...
Como en esta dirección los dos valores de cada par ordenado son iguales, no queda
suficientemente claro que la igualdad se verifique para cualquier par de puntos de
otras semirrectas. Para comprobarlo en algún caso más se puede tomar la semirrecta inmediatamente a la derecha de la diagonal principal, es decir, aquella cuyos
elementos son de la forma: (1,0), (2,1), (3,2)... , y proceder de manera semejante al
caso anterior. Si cogemos (1,0) y (2,1) se cumple 1 + 1 = 0 + 2 ; si cogemos (2,1)
y (3,2) se cumple 2 + 2 = 1 + 3...
Se podría comprobar reiteradamente con cualquiera de las paralelas a la diagonal
forman una partición del conjunto N × N, porque cualquiera de sus elementos
Formalmente, esta partición del conjunto N × N es un conjunto cociente, cuya
expresión es:
donde es una clase de equivalencia
genérica, que recibe el nombre de número entero.
Este nuevo conjunto será el de los números enteros y se denotará por Z
Pero todavía los números enteros no tienen la forma que habitualmente presentan
y como todos y todas los conocemos: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... hará falta, pues, un
paso más.
El paso consistirá en convertir una simbología formada por un par de números
entre corchetes, en un único número con un signo (bien positivo, bien negativo)
o sin signo, en el caso del cero. Para conseguirlo hacemos el siguiente cálculo:
, el número entero m correspondiente a la clase de equivalencia
de se define como:
• m = 0, si a = b
• si a > b, es decir, un entero positivo
• si b > a, es decir, un entero negativo
Por ejemplo, si tomamos de nuevo puntos de la diagonal con origen en (0,0) : (0,0),
(1,1), (2,2),..., en todos ellos la primera componente es igual a la segunda (a = b), por
tanto, el número entero que corresponde a esta clase de equivalencia es el 0.
Si cogemos puntos de la paralela inmediata a la derecha de la anterior: (1,0), (2,1),
(3,2),..., en todos ellos la primera componente es mayor que la segunda (a > b), por
tanto, el número entero correspondiente a esta clase es positivo. ¿Cuál será? En
todos los pares de esta clase de equivalencia a - b = 1, entonces, el número entero
que se obtiene es el +1. De manera análoga, cogiendo las semirrectas que tienen su
origen en el eje horizontal, se obtienen los otros enteros positivos.
Cogiendo nuevamente puntos de otra paralela, en este caso, la inmediata a la izquierda: (0,1), (1,2), (2,3)... en todos ellos la segunda componente es mayor que la
primera (b > a), por tanto, el número entero correspondiente a esta clase es negativo.
Si en esta tabla cartesiana abatimos del eje de ordenadas hacia la izquierda obtenemos la representación de algunos números enteros en la recta numérica (figura 5).
... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 ...