Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
lim x ---> 5 (x^2 - 7x + 10) / (x^2 -25)
La función así parece estar indefinida y no se podría hallar un resultado simplemente reemplazando en 5, por lo tanto hay que ver si se puede hallar una equivalente factorizando la expresión.
La expresión (x^2 - 7x + 10) puede hallarse fácilmente por la formula general de las ecuaciones cuadráticas:
x1 , x2 =
[ -b +- √(b^2 -4*a*c) ] / (2*a)
[ -(-7) +- √ ( (-7)^2 -4*1*10 ) ] / (2*1)
[ 7 +- √9 ] / 2
[ 7 +- 9 ] / 2
x1 = [ 7 + 9 ] / 2 = 16/2 = 8
x2 = [ 7 - 9 ] / 2 = -2/2 = -1
Por lo tanto la forma factorizada del polinomio sería:
(x^2 - 7x + 10) = (x-8)*(x+1)
La expresión (x^2 -25) se puede hallar por diferencia de cuadrados:
(x + 5)*(x - 5)
La expresión original factorizada sería:
lim x ---> 5 (x-8)*(x+1) / [ (x+5)*(x-5) ]
No hay forma de reducir la expresión por lo tanto en el limite de esta tenderá a valores infinitos, ahora hay que analizar si tiende a valores infinitamente positivos o negativos desde ambos extremos de 5 (es decir para valores de x menores o mayores que x)
Cuando tienda a 5 desde valores menores a este la expresión en el denominador si bien tiende a 0, lo hace con valores negativos mientras cuando lo hace a valores mayores a este lo hace con valores positivos.
Para valores de x tendiendo a 5 la expresión en el numerador tiene el valor de -18 por lo que será un valor negativo en el lim --> x = 5
Por lo tanto la expresión:
lim x ---> 5 // x < 5 : (x-8)*(x+1) / [ (x+5)*(x-5) ] = (-) / (-) = + inf
lim x ---> 5 // x > 5 : (x-8)*(x+1) / [ (x+5)*(x-5) ] = (+) / (-) = - inf