73. Dado el perímetro, halla la longitud y
el ancho del rectángulo que tiene la
mayor área,
a) 28 m
b) 36 m
c) 44 cm
Respuestas
a) largo = 7m; ancho = 7m✔️ b) largo = 9m; ancho = 9m✔️ c) largo = 11cm; ancho = 11cm✔️
Explicación paso a paso:
Nos proporcionan 3 perímetros y nos piden hallar la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área con cada perímetro. Vamos a operar algebraicamente:
Llamemos l y a a la longitud y anchura del rectángulo con perímetro P y área A:
Sabemos que el perímetro de un rectángulo es:
P = 2l + 2a } Perímetro rectángulo
Sabemos que el área de un rectángulo es el producto de sus dos dimensiones:
A = a·l } Área rectángulo
El perímetro tiene la restricción de ser constante, así que despejamos una de las variables de la fórmula del perímetro y sustituimos su valor en la fórmula del área:
l = (P - 2a)/2
Y ahora lo sustituimos en la fórmula del área:
A = a·(P - 2a)/2
Sacamos 1/2 factor común:
A = ½·(P·a - 2a²)
Ya tenemos el área como una función de una sola variable. Para ver qué valores de la variable hacen máximo o mínimo el valor de la función, tenemos que ver que valores anulan la primera derivada de la función.
A' = ½·(P - 4a)
Para saber si es máximo o mínimo tenemos que hallar la segunda derivada:
A" = ½·(-4) = -2 < 0 (Máximo)
Siempre es menor que 0, así que habrá un máximo de la función (Área)
Los valores que anulan la primera derivada son:
P - 4a = 0
a = P/4 , cuando la anchura del rectángulo es la cuarta parte del perímetro el área será máxima.
Sustituyendo este valor de a en la fórmula del perímetro vemos que:
l = (P - 2a)/2 = ½·(P - 2·P/4) = ½·(P - P/2) = ½·P/2 = P/4
Vemos que son iguales el ancho y el largo para que el área del rectángulo sea máxima, pero esto significa también que el rectángulo buscado es un cuadrado.
Ya podemos dar las respuestas:
Perímetro a) 28 m ; largo=ancho= 28m/4 = 7m y área =7m·7m=49m²✔️
Perímetro b) 36 m ; largo=ancho= 36m/4 = 9m y área =9m·9m = 81m²✔️
Perímetro c) 44 cm ; largo=ancho= 44cm/4 = 11cm y área = 11cm·11cm = 121cm²✔️
Respuestas: a) largo = 7m; ancho = 7m✔️ b) largo = 9m; ancho = 9m✔️ c) largo = 11cm; ancho = 11cm✔️