Question

De los conjuntos de vectores dados determine si son un espacio vectorial.
1.- El conjunto de vectores en R3 de la forma: (x, x, x)
2.-Los vectores en el plano que están en el primer cuadrante.

Answer 1

1. Como $\Re ^3$ es espacio vectorial sobre $\Re$, bastará probar que el conjunto L de vectores de la forma (x, x, x) es subespacio de $\Re^3$.

Y para ello podemos utilizar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales, que nos dice que un conjunto L es subespacio del espacio V sii

                              $av + bw \in L, \forall a,b \in \Re, \forall v, w \in V$

y como en el caso propuesto se tiene que

$a(x,x,x) + b(y,y,y) = (ax, ax, ax)+(by,by,by) = (ax+by, ax+by, ax+by)$

el vector tiene las tres componentes iguales y, por tanto, pertenece a L y L es espacio vectorial.

2. Trivialmente no. Ni siquiera es grupo, pues el opuesto de un vector del primer cuadrante no está en el primer cuadrante, sino en el tercero.