Ejercicio 1.-
María Eugenia tiene una cierta cantidad de caramelos, si los agrupa de 5 en 5, le sobran 3; si los agrupa de 7 en 7, le sobran 5; pero si los agrupa de 6 en 6, le faltarían 2. Halla cuántos caramelos tiene María Eugenia si es menor que 300.
Respuestas
Respuesta:
es 278 caramelos
Vamos a llamar N al número de caramelos que tiene Maria Eugenia
Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.
Nos dicen que si agrupa los caramelos de 5 en 5 le sobrarían 3
Esto se puede expresar como N = 5ᶬ + 3
Nos dicen que si agrupa los caramelos de 7 en 7 le sobrarían 5
Esto se puede expresar como N = 7ᶬ + 5
Nos dicen que si agrupa los caramelos de 6 en 6 le faltarían 2
Esto se puede expresar como N = 6ᶬ - 2
Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número es múltiplo de dos o más números, entonces es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos números.
Tenemos que N = 5ᶬ + 3
esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 5
entonces N = 5ᶬ - 2
Tenemos que N = 7ᶬ + 5
esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 7
entonces N = 7ᶬ - 2
Resumiendo, tenemos
N = 5ᶬ - 2
N = 7ᶬ - 2
N = 6ᶬ - 2
Como el número buscado es múltiplo de 5, 7 y 6, menos 2 unidades, entonces será múltiplo del mínimo común múltiplo de estos números, menos 2 unidades:
N = [M.C.M.(5,7,6)]ᶬ - 2
factorizamos estos números
5 = 5
7 = 7
6 = 2×3
El mínimo común múltiplo de estos números es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:
El mínimo común múltiplo de 5,7,6 = 5×7×2×3 = 210
N = 210ᶬ - 2 => el número de caramelos será múltiplo de 210 - 2 unidades
Los números de caramelos que cumplen las condiciones son de la manera:
N = n×210 -2 siendo n∈ℕ
N₁ = 1×210 - 2 = 208 caramelos, como el enunciado dice que el número buscado es menor que 300 caramelos, esta es la única solución.
Respuestas: Karina tiene 208 caramelos.
Verificación
N₁ = 208 caramelos de 5 en 5 sobran → 208(mod 5) = 3, sobran 3
[208/5 = 41,... ], [41×5 = 205] , [208-205 = 3]
N₁ = 208 caramelos de 7 en 7 sobran → 208(mod 7) = 5, sobran 5
[208/7 = 29,... ], [29×7 = 203] , [208-203 = 5]
N₁ = 208 caramelos de 6 en 6 sobran → 208(mod 6) = 4 - 6 = -2, faltan 2
[208/6 = 34,... ], [34×6 = 204] , [208-204 = 4]
Queda comprobado que este número cumple las condiciones.