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Respuesta:
El bionmio de Newton es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio.
(a\pm b)^{n}=\binom{n}{0}a^{n} \pm\binom{n}{1}a^{n-1}b \binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} \pm ... \pm \binom{n}{n} b^{n}
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (también conocido como triangulo de Pascal).
Pirámide de Pascal o Tartaglia
En el desarrollo del binomio, los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n , de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n .
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
Ejemplos
1 El término quinto del desarrollo de (x+2y)^{5} es:
T_5=\binom{5}{4}x \cdot (2y)^{4}=80xy^{4}
2 El término cuarto del desarrollo de (2-3y)^{4} es:
T_4=(-1)^{3}\binom{4}{3}2 \cdot (3y)^{3}=-216y^{3}
3 Hallar el término octavo del desarrollo de (x^{2}-3y^{3})^{10}
T_8=(-1)^{7}\binom{10}{7} (x^{2})^{3} (3y^{3})^{7}=-262440x^{6}y^{21}