Question

Me ayudan porfa

Una bola de masa M está unida a una barra de igual masa M y largo L, que es encuentra pivoteada en uno de sus extremos. Calcule el periodo de oscilación para pequeños desplazamientos desde el equilibrio y para un largo L=2.00m

Answer 1

El periodo de oscilación del sistema es igual a:

T = (2*π)  /  √ (π * (6/5) * g )

Primero suponemos despreciable el radio de la bola ya que no poseemos ese dato.

Calculamos el centro de gravedad de la figura compuesta por la barra "Ycmb" y la bola "Ycme", ubicando nuestro origen del sistema de coordenadas en el extremo de la barra por donde esta pivotada:

• Ycm = M*ycmb + M*ycme / (M+M)
• Ycm = (M*L/2 + M*L) / 2*M
• Ycm = (3/2) * L

Buscamos en la literatura la inercia de la barra "Ib" con respecto al eje de rotación que pasa por su centro de gravedad:

• Ib = (1/12) * M * L²

Ahora aplicamos el Teorema de Steiner o de Ejes paralelos para hallar la inercia de la figura con respecto al eje donde pivotea:

• Io = Ib + M*(L/2)² + M*L²
• Io =  (1/12) * M * L² + M*(L/2)² + M*L²
• Io = (5/4) * M * L²

Aplicando la Segunda Ley de Newton para un cuerpo rígido, suponemos que sen(∅) = 1, y calculamos la aceleración angular:

• ∑Mo = Io* α
• W*sen(∅) * (3/2) * L =  (5/4) * M * L² * α
• M * g * 1  * (3/2) * L =  (5/4) * M * L² * α
• (3/2) * g = (5/4) * L * α
• α = (6/5) * g  /  L

Como sabemos la aceleración angular, por definición calculamos la velocidad angular :

• ω / t = (6/5) * g  /  L,      para un tiempo igual al periodo T = (2*π) / ω
• ω / (2*π) / ω = (6/5) * g  /  L
• ω² / 2*π = (6/5) * g  /  L
• ω = √ (2*π * (6/5) * g  /  L)

Entonces, sustituyendo L = 2.00m,  el periodo es igual a:

• T = (2*π) / ω
• T =  (2*π)  /  √ (2*π * (6/5) * g  /  L)
• T = (2*π)  /  √ (π * (6/5) * g )