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10.2. Soluciones desarrolladas Nada se aprende mirando las soluciones sin haber estudiado antes la teor´ıa e intentado los problemas. En algunos casos estas soluciones son un poco esquem´aticas. Se deja al lector completar los detalles. Numeros ´ naturales, racionales y reales 1) a) O bien denominador y numerador son ambos positivos o bien son ambos negativos. El primer caso requiere x < 1 y (x + 2)(x − 3) < 0. Esto ultimo ´ ocurre s´olo si x ∈ (−2, 3), por tanto x ∈ (−2, 1). El segundo caso requiere de la misma forma x > 1 y (x + 2)(x − 3) > 0 que se dan simult´aneamente para x > 3. Por consiguiente la soluci´on es (−2, 1) ∪ (3,∞). b) Si x ≥ −1 entonces la ecuaci´on es (x + 1) + (x + 3) < 5 que equivale a x < 1/2. Si −3 ≤ x ≤ −1 entonces la ecuaci´on es −(x+1)+(x+3) < 5 que se cumple siempre. Finalmente, si x ≤ −3 entonces la ecuaci´on es −(x + 1) − (x + 3) < 5 que equivale a x > −9/2. Combinando estos tres casos se obtiene la soluci´on (−9/2, −3] ∪ [−3, −1] ∪ [−1, 1/2), es decir, (−9/2, 1/2). 2) a) Falso por ejemplo para x = 1, y = 2. b) √xy ≤ x + y 2 ⇔ 2 √xy ≤ x + y ⇔ 4xy ≤ x 2 + 2xy + y 2 ⇔ 0 ≤ x 2 − 2xy + y 2 y esto se cumple siempre porque el segundo miembro es (x − y) 2 . 3) Claramente se cumple para n = 1 porque 1 2 = 1(1 + 1)(2 + 1)/6. Ahora partiendo de la identidad del enunciado tenemos que llegar a la misma cambiando n por n + 1. Con este fin sumamos (n + 1)2 en ambos miembros. El primer miembro es lo que esperamos y podemos manipular el segundo de la siguiente forma: n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1)2 = n + 1 6 n(2n + 1) + 6(n + 1) = n + 1 6 2n 2 + 7n + 6 . Factorizando, 2n 2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) y se obtiene entonces que la expresi´on anterior es (n + 1) (n + 1) + 1 2(n + 1) + 1 /6, como deseamos
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