Question

Se desea cortar una plancha de acero inoxidable, de 150 cm de ancho por 300 cm de largo, en piezas iguales de 0.9 m2 de área. El diseñador está decidiendo entre hacer los cortes en forma de círculo, triángulo equilátero, cuadrado o hexágono regular. El perímetro debe ser el menor posible porque luego del corte hay que hacer un limado especial a los bordes de las piezas para que los usuarios no sientan filos que puedan lastimarlos. Cada pieza se venderá en US$20 pero el limado cuesta US$ 2 por centímetro.
¿Qué forma debe elegir el diseñador para los cortes? Completa el siguiente cuadro para ayudarlo a tomar la decisión.

Forma Círculo Triángulo Cuadrado Hexágono
Área 0.9 m2 0.9 m2 0.9 m2 0.9 m2
Elemento a calcular Radio= Lado= Lado= Lado=
Perímetro por cada pieza
Piezas obtenidas
Venta total
Longitud total limada (cm)
Costo del limado
Utilidad

Answer 1

En ningún caso es rentable la venta pero la forma que permite menos gasto es la forma circular al tener el menor perímetro para limar.

Explicación paso a paso:

El diseñador debe elegir la pieza que implique la mayor cantidad de piezas posible y el menor perímetro de cada una.

Si la corta en fórma de círculo:

Para que cada pieza tenga 0,9 metros cuadrados necesitamos que el radio sea:

$r=\sqrt{\frac{0,9m^2}{\pi}}=0,535m$

El perímetro de la pieza sería $P=2\pi.r=2\pi.0,535m=3,36m$

Para la cantidad de piezas obtenidas tenemos que en el largo caben 300cm/(2.53,5cm)=2 piezas, y en el ancho caben 150cm/(2.53,5cm)=1 piezas, es decir se pueden cortar 2 piezas.

A U$S 20 por cada pieza, el total de la venta es de U$S40. La longitud limada es el perímetro por la cantidad de piezas:

L=336cm.2=672cm.

C=672cm.2U$S=1344U$S

Dando una utilidad total de 40-1344=-U$1304

Si la corta en forma de triángulo equilátero:

El área de un triángulo equilátero es:

$A=l^2\frac{\sqrt{3}}{4}$

Con lo cual el lado es:

$l=\sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}}=1,44m$

El perímetro de cada pieza es igual a 3l=4,32m.

Como la plancha tiene 3m de largo por 1,5 metros de ancho y el triángulo tiene como altura $h=1,44\frac{\sqrt{3}}{2}=1,25m$, se pueden cortar 3 piezas en forma de triángulo equilátero.

Con lo cual la venta total es de U$S60.

La longitud limada es el perímetro de las 3 piezas: 3.432cm=1296cm. Y el costo de esto es 2.1296cm=U$S2592. Siendo la utilidad total de U$S60-U$S2592=-U$S2532.

Si la corta en forma de cuadrado.

El lado de cada cuadrado es:

$l=\sqrt{0,9m^2}=0,95m$

El perímetro de cada pieza es 4.0,95m=3,8m.

Como la plancha tiene 3 metros de largo y 1,5 de ancho caben 3 piezas cuadradas de 0,95m de lado. Dandonos una venta de U$S60.

La longitud total limada es 3.380cm=1140cm, dando un costo de limado de 2.1140cm=U$S2280.

La utilidad total es de 60-2280=-U$S2220.

Si la corta en forma de hexágono:

El lado de cada hexágono sería:

$A=\frac{3\sqrt{3}l^2}{2}\\\\l=\sqrt{\frac{2A}{3\sqrt{3}}}=0.589m$

El perímetro de cada pieza es igual a 6.0,589m=3,53m.

Como la plancha tiene de largo 3m, tenemos que hallar el ancho de cada pieza, o sea la distancia entre lados paralelos:

$d=2l.sen(60\°)=1,02m$.

En el largo caben 3 piezas, el ancho debe ser de al menos 2m para colocar más piezas. El total de la venta es de U$S60.

La longitud total limada es 3.353cm=1059cm

Lo que a un costo de 2 dólares por centímetro da 2118 dólares.

La utilidad total es 60-2118=-U$S2058