Question

1. Dada la función cuadrática f(x) = - 2x² – 4x + 6,
a) hallar la ecuación de su eje de simetría.
b) hallar las coordenadas de su vértice.
c) comprobar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.
d) hallar el punto de corte con el eje y.
e) hallar las raíces reales de la función (si las tuviere).

Answer 1

funciones:

$f(x)=-2x^{2} -4x+6$

a)

el eje de simetría coincide siempre con la coordenada x del vértice,

$V_{x}=\frac{-b}{2a}$

$V_{x}=\frac{-(-4)}{2(-2)} =\frac{4}{-4} =-1$

eje de simetría x = -1

b)

coordenada x = -1

$f(-1)=-2*(-1)^{2} -4*(-1)+6=8$

coordenada y= 8

(-1, 8)

c)

cuando el termino de x² es negativo, siempre se abre hacia abajo.

de todas formas podemos comprobarlo dándole un valor a la x y haciendo f(x)

si el resultado es <8 se abre hacia abajo ya que el vértice será el máximo

si el resultado es > 8 se abre hacia arriba ya que el vértice será el mínimo

por ejemplo con x=1 --> f(1)= 0      0 < 8 por tanto se abre hacia abajo.

d)

si corta con el eje y, es porque x=0

¿Donde corta con eje y?  f(0)= 6

por tanto corta en (0, 6)

e)

las raíces del polinomio es donde da 0, es decir donde corta con el eje x

$-2x^{2} -4x+6=0$

resolviendo la ecuación de segundo grado.

a= -2

b= -4

c= 6

$x=\frac{-(-4)^{+}_ {-}\sqrt{(-4)^{2}-4*(-2)*6} }{2*(-2)} =\frac{4^{+}_ {-}\sqrt{16+48} }{-4} =\frac{4^{+}_ {-}\sqrt{64} }{-4}=\frac{4^{+}_ {-}8 }{-4}\\x_{1}=\frac{4+8 }{-4}=-3\\x_{2}=\frac{4-8 }{-4}=1$

raíces en x= -3 y x=1

Answer 2

El eje de simetría es x+1=0, el vértice está en (-1,8), la parábola se abre hacia abajo, corta al eje 'y' en y=6 y sus raíces  son x=-3 y x=1

Explicación paso a paso:

a) El eje de simetría de la parábola coincide con la abscisa del extremo, que la hallamos derivando la función e igualando a cero.

$f'(x)=-4x-4\\\\-4x-4=0\\\\x=-1$

La ecuación de este eje queda x+1=0

b) El vértice de la ecuación cuadrática corresponde al extremo, por lo que falta hallar la ordenada del mismo, reemplazamos la abscisa del eje de simetría en la ecuación:

$f(x_v)=-2(-1)^2-4(-1)+6\\\\f(x_v)=8$

c) La gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo dependiendo de la concavidad, lo cual lo hallamos mediante la derivada segunda.

$f'(x)=-4x-4\\\\f''(x)=-4$

Al ser negativa, vemos que la parábola se abre hacia abajo. Esto equivale a concluir que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según el signo del término cuadrático.

d) El punto de corte con el eje 'y' se obtiene haciendo x=0 en la ecuación:

$f(0)=-2(0)^2-4.0+6=6$

e) Las raíces se hallan con la siguiente ecuación:

$x_{1,2}=\frac{-b\ñ\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\\\\a=-2; b=-4, c=6\\\\x_{1,2}=\frac{4\ñ\sqrt{(-4)^2-4.(-2).6}}{2.(-2)}=\frac{4\ñ\sqrt{16^2+48}}{-4}\\\\x_1=\frac{4+8}{-4}=-3\\\\x_2=\frac{4-8}{-4}=1$