Question

Calcule los siguientes limites:
(lim)┬(x→a) (x^2+ax-2a^2)/(x^2-a^2 ), a>0

Answer 1

El límite de la función planteada es 3/2

Explicación paso a paso:

El límite planteado tiene una indeterminación de tipo 0/0, ya que tanto el numerador como el denominador de la expresión tienden a 0. En este caso se aplica álgebra para resolver la indeterminación.

Empezamos aplicando en el denominador la propiedad de diferencia de cuadrados:

$\lim_{x \to a} \frac{x^2-ax-2a^2}{x^2-a^2}= \lim_{x \to a} \frac{x^2-ax-2a^2}{(x+a)(x-a)}$

Podemos factorizar el polinomio del numerador hallando sus raíces:

$x_{1,2}=\frac{-a\ñ\sqrt{(a)^2-4.1.(-2a^2)}}{2}\\\\x_{1,2}=\frac{-a\ñ\sqrt{9a^2}}{2}\\\\x_1=a; x_2=-2a$

El límite queda:

$\lim_{x \to a} \frac{(x-a)(x+2a)}{(x+a)(x-a)}= \lim_{x \to a} \frac{(x+2a)}{(x+a)}=\frac{a+2a}{a+a}=\frac{3}{2}$