Question

Laura y Pablo fueron a conocer el obelisco. Laura se ubica a la derecha y observa el extremo superior con un ángulo de elevación desde el piso de 55°. Pablo lo observa desde la izquierda con un ángulo de elevación desde el piso de 65°. La distancia entre Laura y Pablo es de 20,8 metros. a) ¿Cuál es la altura del obelisco? b) ¿A qué distancia del obelisco se encuentra Pablo? ¿Y Laura?

Answer 1

El obelisco tiene una altura de aproximadamente 17,83 metros. Pablo se encuentra a una distancia de aproximadamente 8,31 metros del mismo, mientras que Laura está una distancia de aproximadamente 12,49 metros del obelisco

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Vamos a configurar dos imaginarios triángulos rectángulos.  

El primer imaginario triángulo rectángulo ABC = Pablo, ubicado a la izquierda

El cual está conformado por el lado BC (b) que equivale a la altura del obelisco, el lado AB (a) que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador -en este caso Pablo- hasta el obelisco - donde no conocemos esa distancia -a la cual llamaremos variable x-, y el lado AC (c) es la proyección visual hasta el extremo superior del obelisco bajo un ángulo de elevación de 65°.  

El segundo imaginario triángulo rectángulo BCD =  Laura, ubicada a la derecha

El cual está conformado por el lado BC (b) que equivale a la altura del obelisco, el lado BD (a1) que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador -en este caso Laura- hasta el obelisco - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción de ella, y el lado CD (c1) es la proyección visual hacia la parte superior del obelisco con un ángulo de elevación de 55°.  

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos en forma parcial la distancia al obelisco y de dos ángulos de elevación hasta el extremo superior del mismo, uno de ellos de 55° y el otro de 65°, dependiendo de como se ubiquen los observadores en el plano del suelo mientras ambos observan la parte superior del obelisco

• Distancia entre los observadores = 20,80 m

• Distancia de los observadores al obelisco  = x y 20,80 m - x

• Ángulo de elevación = 65°

• Ángulo de elevación = 55°  

• Debemos hallar la altura del obelisco = lado BC = y

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y.  

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea horizontal hasta el obelisco, que equivale al lado AB del primer triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita "y" será la altura del obelisco que es igual a la medida del lado BC de ambos triángulos rectángulos.  

Si 65° y 55° son uno de los ángulos agudos de cada uno de los dos triángulos rectángulos,  

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente (lado BD sel segundo triángulo), los dos ángulos de elevación dependiendo de la ubicación de los observadores sobre la línea del suelo, y nos piden hallar la altura del obelisco, vamos a relacionar los datos que tenemos con la tangente.

Como conocemos parcialmente el lado BD, y desconocemos el lado AB = incógnita x

Dónde el lado BC equivale a la altura del obelisco =  incógnita y

Planteamos un sistema de ecuaciones,

$\boxed {\bold {tan(65\°) = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y= x\ .\ tan(65\°)}}$

$\boxed {\bold {tan(55\°) = \frac{y}{20,80 -x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y=(20,80- x)\ .\ tan(55\°)}}$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x,

$\boxed {\bold {x \ . \ tan(65\°) = (20,80 -x) \ . \ tan(55\°)}}$

$\boxed {\bold {x \ . \ tan(65\°) = 20,80\ .\ tan(55\°) -x \ . \ tan(55\°) }}$

$\boxed {\bold {x \ . \ tan(65\°) +x \ . \ tan(55\°) = 20,80\ .\ tan(55\°) }}$

$\boxed {\bold {x \ . \ (tan(65\°) + \ tan(55\°)) = 20,80\ .\ tan(55\°) }}$

$\boxed {\bold {x = \frac{ 20,80\ .\ tan(55\°) }{ tan(65\°) + \ tan(55\°) } }}$

$\boxed {\bold {x = \frac{ 20,80\ .\ 1,4281480 }{2,14450692\ + \ 1,4281480 } }}$

$\boxed {\bold {x = \frac{ 29,7054784 }{3,57265492 } }}$

$\boxed {\bold {x \approx 8,31\ metros }}$

La medida del lado AB = x es de ≅ 8,31 metros

Hallando la altura del obelisco

Si    

$\boxed {\bold {y = x\ . \ tan(65\°)}}$

y

$\boxed {\bold {x = \frac{ 20,80\ .\ tan(55\°) }{ tan(65\°) + \ tan(55\°) } }}$

Reemplazando,

$\boxed {\bold {y = \frac{ 20,80\ .\ tan(55\°)\ . \ tan(65\°) }{ tan(65\°) + \ tan(55\°) } }}$

$\boxed {\bold {y = \frac{ 20,80\ .\ 1,4281480\ . \ 2,14450692 }{ 2,14450692 + \ 1,4281480 } }}$

$\boxed {\bold {y = \frac{ 63,703604 }{3,57265492 } }}$

$\boxed{\bold {y \approx 17,83 \ metros}}$

La altura del obelisco es de ≅ 17,83 metros

Hallando a que distancia del obelisco están cada uno de los observadores

La distancia de Pablo al obelisco equivale a la longitud del lado AB  = x que calculamos anteriormente

La medida del lado AB = x es de ≅ 8,31 metros

Pablo se encuentra a ≅ 8,31 m del obelisco

La distancia de Laura al obelisco equivale a la longitud del lado BD

BD = 20,80 metros - x

BD = 20,30 metros - 8,31

BD ≅ 12,49 metros

Laura se encuentra a ≅ 12,49 m del obelisco