Question

La suma de los recíprocos de dos números impares consecutivos es 28/195. Hallar los números. Ojalá pueda ayudarme, se los agradecería mucho, llevo más de 12 horas intentándolo​

Answer 1

Respuesta: Los números buscados son 13 y 15✔️

Explicación paso a paso:

Para asegurarnos de que un número es impar, debe ser de la forma

x = 2n + 1 , siendo indiferente que n sea par o impar

Entonces el siguiente número impar (consecutivo) será de la forma

y = 2(n+1) + 1 = 2n + 3

El recíproco de un número entero es su inverso, entonces según el enunciado, tenemos que:

1/(2n + 1) + 1/(2n + 3) = 28/195

[(2n + 3) + (2n + 1)]/(2n + 1)(2n + 3) = 28/195

(2n + 3 + 2n + 1)/(4n + 6n + 2n + 3) = 28/195

(4n + 4)/(4n² + 8n + 3) = 28/195

195(4n + 4) = 28(4n² + 8n + 3)

780n + 780 = 112n² + 224n + 84

112n² + 224n -780n + 84-780 = 0

112n² - 556n - 696 = 0

Tenemos una ecuación de segundo grado y sabemos resolverla:  

$n = \dfrac{556+-\sqrt{556^{2}+4*112*696}}{2*112}=\dfrac{556+-\sqrt{309136+311088}}{224}=\dfrac{556+-\sqrt{620944}}{224}$

n = (556±788)/224

Tenemos dos raíces que solucionan esta ecuación, pero descartamos la solución negativa porque la suma de dos números negativos no puede dar un resultado positivo

n₁ = (556+788)/224 = 1344/224 = 6 , este es el valor de n

Los números impares consecutivos buscados son:

2n + 1 = 2·6 + 1 = 13

2n + 3 = 2·6 + 3 = 15

Respuesta: Los números buscados son 13 y 15✔️

Verificar:

Comprobamos la suma de los inversos de estos números

1/13 + 1/15 = (13 + 15)/13·15 = 28/195✔️comprobado

Michael Spymore