Question

La nariz de un cohete espacial es un cono circular recto de 8 pies de altura y 10 pies de radio. La superficie lateral debe cubrirse con tela excepto por una sección de 1 pie de altura en el ápice del cono de la nariz. Encuentre el área de la tela necesaria.​

Answer 1

El área de la tela necesaria es de aproximadamente 396 pies cuadrados.

La generatriz del cono no es más que la recta que lo genera rotando la curva alrededor del eje y. Tenemos dos puntos (10, 0) y (0,8) por tanto podemos hallar la pendiente de esa curva como:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

m =  (8 - 0) / (0 - 10) = -0.8

Luego la ecuación de la generatriz será:

y = -0.8x + 8

Que podemos reescribir para x como:

x = -(y-8)/0.8

Donde:

$\dfrac{dy}{dx} = -1.25$

Sabemos que el área a cubrir va desde y=0 hasta y = 7, por tanto, Planteamos:

${\displaystyle A=2\pi\int_{y_1}^{y_2}x\sqrt{1+\left(\dfrac{dx}{dy} \right )^2}dy}$

${\displaystyle A=2\pi\int_{0}^{7}\left(-\dfrac{y-8}{0.8}\right)\sqrt{1+(-1.25)^2}dy}$

${\displaystyle A=-2\pi \sqrt{1+(-1.25)^2}\cdot\dfrac{1}{0.8}\int_{0}^{7}\left(y-8\right)dy}$

${\displaystyle A=-\frac{2\sqrt{2.5625}\pi }{0.8}\int_{0}^{7}\left(y-8\right)dy}$

${\displaystyle A=-\frac{2\sqrt{2.5625}\pi }{0.8}\left[\frac{y^2}{2}-8y\right]_0^7}$

${\displaystyle A=-\frac{2\sqrt{2.5625}\pi }{0.8}\left(\frac{49}{2}-56\right)}$

$\boxed{A\approx396.03390\ \text{ft}^2}$

R/ El área de la tela necesaria es de aproximadamente 396 pies cuadrados.