Question

me dan la respuesta del siguiente problema
Dada la función cuadrática f(x) = - 2x² – 4x + 6

Answer 1

Palabras clave: Función, cuadrática.

Este problema puede ser resuelto de dos formas, utilizando cálculo básico (derivadas). La otra solución sería usando matemática básica (geometría analítica). Para fines prácticos usaremos el segundo método.

Por otro lado pondré en contexto dicho problema guiándome de ejercicios similares, lo que se pide es:

1. Hallar la ecuación de su eje de simetría.
2. Hallar las coordenadas de su vértice.
3. Comprobar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.
4. Hallar el punto de corte con el eje y.
5. Hallar las raíces reales de la función.

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Sea la función cuadrática de la forma:  $\mathsf{y =f(x)= ax^{2} + bx + c}$

1. Para hallar su eje de simetría usamos la fórmula $\mathsf{x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\times2} =-1 }$

Otra forma es graficar la función y encontrarla gráficamente (ver línea roja de la figura)

2. Para hallar las coordenadas de su vértice, usamos la fórmula en (1) en donde "sin querer" ya hallamos la coordenada "x" del vértice, solo debemos reemplazarlo en la función y nos dará la coordenada "y" veamos:

$\mathsf{y=-2(-1)^{2} -4(-1)+6=8}$   tenemos el vértice V(-1,8)

Otra forma es ubicarlo gráficamente (nuevamente veamos la gráfica)

3. Para saberlo solo nos basta observar el signo del coeficiente del término cuadrático, o sea "a", como en este caso a= -2; (y como -2<0) entonces la parábola se abre hacia abajo (ver gráfica)

4. Para ver dónde corta al eje Y, basta hacer x=0 y reemplazarlo en la función: $\mathsf{y=-2(0)^{2} -4(0)+6=6}$ entonces la parábola corta al eje Y en el punto (0,6)

5. Para esto resolvermos la ecuación de segundo grado igualando a cero la función: $\mathsf{-2x^{2} -4x +6=0}$

Factorizamos y nos da: -2(x-1)(x+3)=0 de donde tenemos las raíces:

x= -3 ; x= 1

Si nos damos cuenta en la gráfica, la parábola corta en dos puntos al eje X, justamente siendo: A(-3,0) y B(1,0) dichos valores coinciden con los valores de x hallados.