Question

6x3+12x2-90x-216 con la regla del ruffini

Answer 1

El polinomio tiene una raíz doble en x=-3 y una raíz simple en x=4, quedando $6(x+3)^2(x-4)$

Explicación paso a paso:

Para aplicar la regla de Ruffini es necesario hallar al menos una raíz del polinomio. Podemos empezar dividiendo todo el polinomio por 6 ya que todos sus coeficientes son múltiplos de dicho número. Queda:

$x^3+2x^2-15x+36=0$

Se sabe que el término independiente es el producto de las tres raíces del polinomio. Podemos probar con sus divisores.

$1^3+2(1)^2-15.1-36=-24\\(-1)^3+2(-1)^2-15.(-1)-36=-18\\2^3+2(2)^2-15.2-36=-54\\(-2)^3+2(-2)^2-15.(-2)-36=-10\\3^3+2(3)^2-15.3-36=-54\\(-3)^3+2(-3)^2-15.(-3)-36=0$

Con la raíz -3 aplicamos regla de Ruffini. Bajamos el primer coeficiente y luego multiplicamos la raíz por el término de la tercera fila y lo sumamos al siguiente término de la primera fila, repitiendo el procedimiento hasta llegar al último:

$~~~~~|1~~2~~-15~~-36\\-3|~~-3~~~~3~~~~36\\--|-------\\--|1~~-1~~-12~~0$

Es importante que el último término de la tercera fila sea 0. El polinomio que obtuvimos es $x^2-x-12$, para hallar las otras dos raíces resolvemos la ecuación cuadrática.

$x^2-x-12=0\\\\x_{1,2}=\frac{-(-1)\ñ\sqrt{(-1)^2-4.1(-12)}}{2.1}\\\\x_{1,2}=\frac{1\ñ\sqrt{49}}{2}\\\\x_1=4; x_2=-3$

Así el polinomio queda: 6(x+3)(x-4)(x+3)=$6(x+3)^2(x-4)$