Question

En una empresa agrícola, la utilidad (en miles de dólares) al vender x repuestos para tractores agrícolas está dada por la función:
x repuestos para tractores
F(x)= -〖6x〗^2+132 x

Determine la cantidad de repuestos que se deben vender para obtener la máxima utilidad.

¿Cuál es el valor de la máxima utilidad?

Hallar la ecuación de su eje de simetría

Hallar las coordenadas de su vértice.

Comprobar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.

Hallar el punto de corte con el eje y.

Hallar las raíces reales de la función (si las tuviere).

Indique si es cóncava o convexa

Answer 1

Explicación paso a paso:

Tema: Parábola

          Tenemos la siguiente función de Utilidad:

         $F(x)=-6x^2+132x$

• Determine la cantidad de repuestos que se deben vender para obtener la máxima utilidad.

Para calcular la cantidad óptima, tenemos que derivar la función con respecto a "x" e igualar a cero, es decir:

                                                      $F'(x)=0$

Derivamos:

                                                $-12x+132=0\\12x=132\\x=\frac{132}{12} \\x=11$

Por lo tanto se deben vender 11 repuestos para obtener la máxima utilidad.

• ¿Cuál es el valor de la máxima utilidad?

Solo tenemos que reemplazar el la cantidad óptima en la función F(x), por lo tanto nos quedaría:

                                     $F(11)=-6(11)^2+132(11)\\F(11)=-6(121)+1452\\F(11)=-726+1452\\F(11)=726$

                    Por lo tanto la utilidad sería de 726 mil dólares.

• Hallar la ecuación de su eje de simetría

Para una función cuadrática de la forma:  $y=ax^2+bx+c$ , su eje de simetría se calcula de la siguiente manera:

                                                        $x=\frac{-b}{2a}$

Recordemos que el eje de simetría es una recta vertical.

Entonces se tiene la función:

                                           $F(x)=-6x^2+132x\\y=-6x^2+132x$

$a=-6\\b=132$

Reemplazamos:

                                                  $x=\frac{-132}{2(-6)} \\x=\frac{-132}{-12} \\x=11$

                        Hemos encontrado el eje de simetría.

• Hallar las coordenadas de su vértice

Anteriormente hemos calculado el eje de simetría, ese "x" es una coordenada del vértice. Faltaría encontrar "y" que es la otra coordenada.

Para calcular "y" , solo reemplazamos el valor de "x" en la función F(X):

                                             $F(11)=726$

Ya lo hemos calculado anteriormente. Por lo tanto hemos encontrado la otra coordenada del vértice.

Entonces el vértice quedaría como:

                                                 $V(11,726)$

• Comprobar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.

Para verificar esto, tenemos que ver el valor de "a"

Si:

a > 0 --> Abierta hacia arriba

a < 0 --> Abierta hacia abajo

                         $a=-6$ , por lo tanto abre hacia abajo.

• Hallar el punto de corte con el eje "y"

Para encontrar el punto de corte con el eje "y" solo debemos suponer que "x" es igual a cero, es decir:

                                      $F(0)=-6(0)^2+132(0)\\F(0)=0$

     Por lo tanto el punto de corte con el eje "y" se da en el origen.

• Hallar las raíces reales de la función

                                          $y=-6x^2+132x\\-6x(x-22)=0$

                           -6x = 0                  ∧                   x - 22 = 0

                             x = 0                    ∧                    x = 22

Si tiene raíces reales, por lo tanto el Conjunto Solución quedaría como:

                                            $C.S.=[0,22]$

• Indique si es cóncava o convexa

Para saber si una función es cóncava o convexa, debemos aplicar la segunda derivada a la función.

Si:

F''(x) > 0 --> Es convexa

F''(x) < 0 --> Ex cóncava

Entonces derivamos la función F(x) dos veces:

                                              $F(x)=-6x^2+132x\\F'(x)=-12x+132\\F''(x)=-12$

                                                F''(x) = -12 < 0

                                 Por lo tanto la función es cóncava

Puedes ver una tarea similar en: https://brainly.lat/tarea/13696157