Question

Calcula el valor de k para que P(x) = x + kx – 3x +2 Sea divisible por x – 2

Answer 1

Respuesta: Si el polinomio es P(x) = x + kx - 3x + 2,   k  =  1.

Si el polinomio es P(x)  = x² + kx - 3x + 2, la respuesta es k = 0.

Explicación paso a paso:

CASO 1.

k debe ser tal que  n(x-2)  =  x + kx - 3x + 2, donde n  y  k  son enteros.

Entonces:

nx - 2n  =  x + kx - 3x + 2

nx - 2n  =  (k - 2)x  +  2.  Al igualar los coeficientes correspondientes, resulta:

k - 2  =  n  ................... (1)

-2n =  2  ......................(2)

De la ecuación (2),  n  =  2/-2,  n = -1. Al sustituir este valor en (1), resulta:

k - 2  =  -1

k        =  -1  + 2

k        =  1.

CASO 2.

Si en realidad  P(x)  = x² + kx - 3x + 2, entonces,

k debe ser tal que:

(x-2)(x-n)  =  x² + (k-3)x + 2, donde n  es un entero. Y al desarrollar, se obtiene:

x(x-n) - 2(x-n)  =  x² + (k-3)x + 2

x² - nx  - 2x  +  2n  =  x² + (k-3)x + 2

x² -(n + 2)x  +  2n  =  x² + (k-3)x + 2

Al igualar los coeficientes correspondientes, resulta:

k - 3  =  -(n + 2)  ...................... (1)

2n  =  2  ...................................(2), de aquí  n = 1.

Al sustituir en la ecuación  (1), se obtiene:

k - 3  =  - (1 + 2)

k  -  3  =  -3

k  =  - 3  +  3

k  =  0

Respuesta.  k = 0.