Question

A PARTIR DE UNA LAMINA DE CARTON DE 40 X 40 CM SE DESEA CONSTRUIR UNA CAJA A MAXIMO VOLUMEN, ¿Cuáles SON LAS DIMENSIONES DE LA CAJA Y SU VOLUMEN?

Answer 1

Para construir la caja recortamos cuadraditos  iguales en cada uno de los cuatro vértices de la lámina de cartón. Sea x el lado del cuadrado recortado en cada esquina.

Los lados de la lámina quedan disminuidos en 2x (una x por cada esquina). Así que los lados de la base de la caja miden .

$40-2x$

Luego el área de la base es, en cm²,

$(40-2x)^2$

Y como la altura de la caja es x, su volumen, en función de x, es

$V(x) = x\cdot (40-2x)^2 = x\cdot (1600 + 4x^2 - 160x) = 4x^3 -160x^2 + 1600x$

Y por tanto su derivada es

$V'(x) = 12x^2 - 320x + 1600$

Que igualada a cero nos dará los posibles máximos o mínimos:

 

$12x^2 - 320x + 1600 = 0$

o, simplificando,

$3x^2 - 80x + 400 = 0\\\\x = \frac{80\ñ \sqrt{80^2 - 4800} }{6} = \frac{80\ñ40}{6} \\\\x_{1} = 20\\ \\x_{2} = \frac{20}{3}$

Pero x no puede ser 20 pues haría cero el lado de la lámina de cartón (que mide 40 – 2x), así que la solución única es

$x = \frac{20}{3}$

y como la segunda derivada es

$V"(x) = 24x - 320$,

para x=20/3  resulta

$V"(\frac{20}{3} ) = 24\cdot \frac{20}{3} -320 = -160 < 0$

y se trata de un máximo.

Luego las dimensiones de la caja son:

Altura = 20/3 cm, base un cuadrado de lado 40-40/3 = 80/3 cm de lado.

Y su volumen

$V = (\frac{20}{3}) \cdt (\frac{80}{3}) ^2 = \frac{128000}{27}$ cm³

o, aproximadamente, 4740.740  cm³

Otro ejemplo en https://brainly.lat/tarea/13749535