Question

Un avión vuela 240 kilómetros de la ciudad A a la ciudad B; luego cambia su rumbo 40° y se dirige a la ciudad C. La distancia entre la ciudad B y la ciudad C es de 162 kilómetros. ¿Cuál es la distancia de la ciudad A a la ciudad C?

Answer 1

La distancia de la ciudad A a la ciudad C es de aproximadamente 378,70 kilómetros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las siguientes relaciones:

$\boxed { \bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha)}}$

$\boxed { \bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta)}}$

$\boxed { \bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma)}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Resolución del problema:

• Nos piden determinar la distancia entre la ciudad A y la ciudad C, a través de la trayectoria de un avión, el cual parte desde la ciudad A hacia la ciudad B, donde allí cambia su rumbo 40°, para dirigirse a la ciudad C

• Debemos prestar atención a ese cambio del rumbo inicial al llegar a la ciudad B ya que nos basamos en un triángulo imaginario que representa la trayectoria del vuelo del avión.

• Si observamos el gráfico vemos que el ángulo de 40° dado es el cambio de rumbo de la dirección inicial del avión como se ve en el segmento AD. Y en realidad el ángulo que nos interesa para nuestro triángulo imaginario resulta ser su ángulo suplementario. Luego debemos hallar ese ángulo.

Hallando el valor del ángulo suplementario γ

• Dos ángulos son suplementarios si suman 180°

• Para obtener el valor del ángulo B = γ, que es uno de los ángulos interiores del triángulo con el cual estamos resolviendo el problema,

Planteamos:

$\boxed{ \bold {\gamma = 180\° - 40\°}}$

$\boxed{ \bold {\gamma = 140\°}}$

Tenemos entonces un imaginario triángulo

• En donde el lado AB (lado b) representa el vuelo del avión desde la ciudad A a la B con la trayectoria inicial, el lado BC (lado a) equivale a la distancia de vuelo del avión desde la ciudad B hasta la ciudad C, en dónde en el vértice B cambia su rumbo inicial con un ángulo de 40°, y el lado AC (lado c) es la distancia entre las ciudades A y C  

Nos piden hallar la distancia de la ciudad A a la ciudad C

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold {AC^{2} = BC^{2} +AB^{2} - 2\ . \ BC\ . \ AB \ . \ cos (\gamma)}}$

ó

$\boxed { \bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma)}}$

Reemplazamos valores,

$\boxed {\bold {AC^{2} = BC^{2} +AB^{2} - 2\ . \ BC\ . \ AB \ . \ cos (\gamma)}}$

$\boxed {\bold {AC^{2} = 162^{2} + 240^{2} - 2\ . \ 162\ . \ 240 \ . \ cos (140\°)}}$

$\boxed {\bold {AC^{2} = 26244 + 57600 - 77760 \ . \ cos (140\°)}}$

$\boxed {\bold {AC^{2} = 83844 - 77760 \ . \ -0,7660444}}$

$\boxed {\bold {AC^{2} = 83844 + 59567,61}}$

$\boxed {\bold {AC^{2} = 143411,61}}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ AC^{2} } = \sqrt{ 143411,61 } }}$

$\boxed {\bold {AC \approx 378,70 \ kil\'ometros }}$