Un equipo de fútbol se conforma de cuatro líneas de jugadores: portero (9%), defensas (37%), medios (27%) y delanteros (27%), donde los goles anotados por el equipo en cada línea son: portero 1 gol, defensas 11 goles, medios 15 goles y delanteros 23 goles. Supongamos que en un partido se gana por un gol. ¿Que probabilidad hay de que esté fuera anotado por la defensa, por los medios y por los delanteros?
Respuestas
Respuesta:
Probabilidad de que fuera anotado por:
DEFENSA= 28,22%
MEDIOS= 28,08%
DELANTEROS= 43,06%
Explicación:
Según la ley de la probabilidad total
Anotaciones:
P=Portero ⇒ P(P)= 0,09 P(G/P)= 0,01
D= Defensas ⇒ P(D)= 0,37 P(G/D)= 0,11
M= Medios ⇒ P(M)= 0,27 P(G/M)= 0,15
L= Delanteros ⇒ P(L)= 0,27 P(G/L)= 0,23
G= Gol
P(G)= P(P)*P(G/P) + P(D)*(G/D) + P(M)*P(G/M) + P(L)*P(G/L)
= 0,09*0,01 + 0,37*0,11 + 0,27*0,15 + 0,27*0,23
= 0,1442
Probabilidad de que fuera anotado por:
- DEFENSAS:
P(D/G)= (según teorema de bayes)
=
=0,2822
- MEDIOS:
= 0,2808
- DELANTEROS:
= 0,4306
Dado que se anotó un gol, hay una probabilidad de 0,2822 de que lo haya anotado un Defensa, 0,02809 de que lo haya anotado un Medio y de 0,4307 de que lo haya anotado un Delantero.
Explicación paso a paso:
El problema plantea dos eventos, la línea a la que pertenece el jugador y la anotación de un gol. Estos eventos son independientes en cuanto a la ocurrencia en sí, pero las probabilidades del segundo evento cambian de acuerdo al resultado del primer evento.
La probabilidad de un jugador seleccionado al azar de anotar un gol viene dada por el producto de las probabilidades de pertenecer a una línea en particular y de anotar un gol; es decir:
Sale un 1 portero (P), probabilidad 0,09, que tiene una probabilidad de hacer gol (G) de 1/50 (se suman todos los goles dados en el planteamiento y se obtienen las probabilidades por línea); entonces, la probabilidad de seleccionar un portero y que haga gol es:
P(P y G) = (0,09)*(1/50) = 0,0018
Sale un 1 defensa (D), probabilidad 0,37, que tiene una probabilidad de hacer gol (G) de 11/50; entonces, la probabilidad de seleccionar un defensa y que haga gol es:
P(D y G) = (0,37)*(11/50) = 0,0814
Sale un 1 medio (M), probabilidad 0,27, que tiene una probabilidad de hacer gol (G) de 15/50; entonces, la probabilidad de seleccionar un medio y que haga gol es:
P(M y G) = (0,27)*(15/50) = 0,0810
Sale un 1 delantero a atacante (A), probabilidad 0,27, que tiene una probabilidad de hacer gol (G) de 23/50; entonces, la probabilidad de seleccionar un medio y que haga gol es:
P(A y G) = (0,27)*(23/50) = 0,1242
El partido se gana por un gol y se pide la probabilidad de que lo haya anotado un defensa, un medio y un delantero.
Esta es una probabilidad condicional, ya que se quiere la probabilidad de ocurrencia del evento D,M,A(anotó un defensa, un medio, un delantero) dado que el evento G (se anotó un gol) ya ocurrió. En la práctica, se trata de una reducción del espacio muestral, obligada por el evento que ya ocurrió. (ver figura anexa)
Primero, calculamos la probabilidad de que el equipo anotó un gol. Esta es la suma de las probabilidades calculadas antes:
P(G) = 0,0018 + 0,0814 + 0,0810 + 0,1242 = 0,2884
Luego calculamos las probabilidades de cada uno:
a) Anotó un Defensa (D)
Se calcula por la fórmula:
P(D|G) = P(D∩G)/P(G)
P(D∩G) = Probabilidad que un defensa anota un gol
P(G) = Probabilidad de anotar un gol
P(D|G) = (0,0814)/(0,2884) = 0,2822
b) Anotó un Medio (M)
Se calcula por la fórmula:
P(M|G) = P(M∩G)/P(G)
P(M∩G) = Probabilidad que un medio anota un gol
P(G) = Probabilidad de anotar un gol
P(M|G) = (0,0810)/(0,2884) = 0,2809
c) Anotó un Delantero (A)
Se calcula por la fórmula:
P(A|G) = P(A∩G)/P(G)
P(A∩G) = Probabilidad que un delantero anota un gol
P(G) = Probabilidad de anotar un gol
P(A|G) = (0,1242)/(0,2884) = 0,4307
Dado que se anotó un gol, hay una probabilidad de 0,2822 de que lo haya anotado un Defensa, 0,02809 de que lo haya anotado un Medio y de 0,4307 de que lo haya anotado un Delantero.
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