Question

Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante

6xydx+ (4y+9 x^{2} )dy=0[/tex]

Answer 1

El factor integrante consiste en multiplicar cierta función $u=u(x,y)$ a la ecuación diferencial
                              $6xy\,dx+(4y+9x^2)\,dy=0$

para que quede así
                          $6xyu\,dx+(4y+9x^2)u\,dy=0$

de tal forma que se verifique la siguiente igualdad
     $\dfrac{\partial }{\partial y}(6xyu)=\dfrac{\partial }{\partial x}(4y+9x^2)u$

Podemos empezar diciendo que $u=u(x)$ ó $u=u(y)$, y parece que nos convendría que  $u=u(y)$, en efecto

$\dfrac{\partial }{\partial y}(6xy\,u(y))=\dfrac{\partial }{\partial x}(4y+9x^2)u(y)\\ \\ 6x\dfrac{\partial }{\partial y}(y\,u(y))=18xu(y)\\ \\ \dfrac{d }{d y}(y\,u(y))=3u(y)\\ \\ u\,dy + ydu = 3udy\\ \\ ydu = 2udy\\ \\ \dfrac{du}{u}=\dfrac{2dy}{y}\\ \\ \ln u = 2\ln y\\ \\ \boxed{u = y^2}$

entonces tenemos
                             $6xy^3\,dx+(4y^3+9x^2y^2)\,dy=0$

Que sería la diferencial total de cierta función z, es decir
                                            $dz = z_xdx+z_ydy$

Por ello 
$\dfrac{\partial z}{\partial x} = 6xy^3\\ \\ \displaystyle z=\int 6xy^3 dx\\ \\ z=6y^3\int xdx\\ \\ \\ \boxed{z=3x^2y^3+\phi(y)}$

Por otra parte
$z_y = 4y^3+9x^2y^2\\ \\ \dfrac{\partial }{\partial y}\left[3x^2y^3+\phi(y)\right]= 4y^3+9x^2y^2\\ \\ 9x^2y^2+\phi'(y)=4y^3+9x^2y^2\\ \\ \phi'(y)=4y^3\\ \\ \boxed{\phi(y)=y^4}$

por consiguiente se tiene
$z=3x^2y^3+y^4\\ \\ \text{de }dz=0\text{ se deduce que } z=c\\ \\ \\ \boxed{3x^2y^3+y^4=c}$

donde C es una constante