Question

Un granjero tiene 96 m de cerca para encerrar su terreno rectangular al lado de un río (no coloca cerca por la orilla del río). Halla la función que determina el área del terreno, en función del lado del terreno. ¿Cuál es el área máxima que puede encerrarse y cuáles serían las dimensiones del terreno?

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

**** ver imagen ****

se sabe que el área de un rectángulo es

A = x*y

donde

A= área

x = ancho

y = largo

ademas sabemos la longitud de la cerca

2x + y = 96

de esta ecuación se puede despejar y

y = -2x + 96

sabiendo eso podemos reemplazar "y" en la formula del área para asi tener la función que determina el área del terreno

A = x * (-2x + 96)   distribuyendo nos queda

A = $-2x^{2} +96x$

ahora bien hay que llevarla a la forma estándar de una parábola para saber su punto máximo ( área máxima)

forma estándar de la parábola y = a*(x-h) + k

entonces:

A =$-2x^{2} +96x$

A = $-2*(x^{2} -48x)$

ahora hay que agregar el sumando para lograr el trinomio cuadrado perfecto, el cual es de la forma $( \frac{48}{2})^{2}$ = 576

nos queda

$A = -2 *(x^{2} -48x+576-576)$

ahora bien para completar el trinomio cuadrado perfecto nos interesa el 576  y no el -576

por lo tanto lo sacamos del paréntesis con su respectiva multiplicación

$A= -2*(x^{2}-48x+576)+1152$

$A =-2*[ ( x- 24) * (x-24)]+1152\\\\A =-2*[ ( x- 24)^{2} ]+1152$

ya tenemos la función en forma estándar de la parábola

donde

y = a*(x-h) + k

a = -2

h = 24

k = 1152

donde k seria el área máxima. Área máxima 1152$m^{2}$

espero te sirva, saludos.