Question

Verificar las siguientes identidades trigonométricas

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

1)  $\frac{1-tg(A)}{1+tg(A)} = \frac{cos(A) - sen(A)}{cos(A) + sen(A)}$

transformamos los tg(A) a  $\frac{sen(A)}{cos(A)}$

queda

$\frac{1-\frac{sen(A)}{cos(A)} }{1+\frac{sen(A)}{cos(A)} }$    ahora multiplicamos por un uno conveniente en este caso  $\frac{cos(A)}{cos(A)}$

queda

$\frac{1-\frac{sen(A)}{cos(A)} }{1+\frac{sen(A)}{cos(A)} } * \frac{cos(A)}{cos(A)} \\ \\\frac{cos(A)*(1-\frac{sen(A)}{cos(A)}) }{cos(A)*(1+\frac{sen(A)}{cos(A)} )}$

RESOLVIENDO NOS QUEDA

$\frac{cos(A)*1+cos(A)*(-\frac{sen(A)}{cos(A)}) }{cos(A)*1+cos(A)*(\frac{sen(A)}{cos(A)} )}$

$\frac{cos(A)-sen(A) }{cos(A)+sen(A)}$     Demostrado

2)  $tg(A)*sen(A) = \frac{1}{cos(A)} -cos(A)$

del lado derecho demostramos el lado izquierdo

$\frac{1}{cos(A)} -cos(A)$    el cos(A) se puede expresar como  $\frac{cos(A)}{1}$ queda

$\frac{1}{cos(A)} -\frac{cos(A)}{1}$ para que tengan el mismo denominador multiplicamos

$\frac{-cos(A)}{1}$   por   $\frac{cos(A)}{cos(A)}$  queda

$\frac{1}{cos(A)} -\frac{cos(A)}{1} *\frac{cos(A)}{cos(A)}$

$\frac{1}{cos(A)} -\frac{cos(A)*cos(A)}{cos(A)} \\\\ \frac{1}{cos(A)} -\frac{cos(A)^{2} }{cos(A)} \\\\\\ \frac{1-cos^{2} (A)}{cos(A)}$  

}por la identidad  $sen^{2}(A) + cos^{2} (A) =1$  despejamos sen^2(A)  nos queda

$sen^{2}(A) =1 - cos^{2} (A)$  por lo tanto

$\frac{sen^{2} (A)}{cos(A)}\\\\\\ = \frac{sen(A)*sen(A)}{cos(A)}$    usando  $tg(A) = \frac{sen(A)}{cos(A)}$

nos queda

$tg(A)*sen(A)$  demostrado

3)  $(sec(A) - cos(A))*sec(A) = tan^{2} (A)$

se procede a distribuir

$(sec(A) - cos(A))*sec(A) \\\\sec(A)*sec(A) - cos(A)*sec(A) \\\\sec^{2} (A) - cos(A)*sec(A)$

sabiendo que

$sec^{2} (A) = tg^{2} (A) +1$

$sec(A) =\frac{1}{cos(A)}$

entonces

$tg^{2}(A)+1 - cos(A)*\frac{1}{cos(A)}$

$tg^{2}(A)+1 - \frac{cos(A)}{cos(A)}$

nos queda que

$tg^{2} (A) +1-1\\\\\\tg^{2}(A)$demostrado

4)  $cot(A)*(tg(A)+cot(A))=csc^{2}(A)$

$cot(A)*(tg(A)+cot(A))$   aplicando distribución nos queda

$cot(A)*tg(A)+cot(A)*cot(A)\\\\cot(A)*tg(A)+cot^{2} (A)$

sabiendo que

$cot^{2} (A) = csc^{2} (A)-1$

entonces

$cot(A)*tg(A)+csc^{2}(A) -1$

ademas

$cot(A)=\frac{cos(A)}{sen(A)} \\\\tg(A) = \frac{sen(A)}{cos(A)}$

por lo tanto nos queda

$\frac{cos(A)}{sen(A)}*\frac{sen(A)}{cos(A)} +csc^{2}(A)-1 \\\\1+csc^{2}(A)-1 \\\\csc^{2}(A)$ demostrado

5)  $csc(B) = \frac{sec(B)+csc(B)}{tg(B)+1}$

$\frac{sec(B)+csc(B)}{tg(B)+1}$

se sabe que

$sec(B) = \frac{1}{cos(B)} \\\\csc(B) = \frac{1}{sen(B)} \\\\tg(B) = \frac{sen(B)}{cos(B)}$

entonces nos queda

$\frac{\frac{1}{cos(B)} +\frac{1}{sen(B)} }{\frac{sen(B)}{cos(B)} +1}$

multiplicamos por un uno conveniente en  este caso

$\frac{cos(B)*sen(B)}{cos(B)*sen(B)}$

nos queda

$\frac{cos(B)*sen(B)*(\frac{1}{cos(B)}+\frac{1}{sen(B)}) }{cos(B)*sen(B)*(\frac{sen(B)}{cos(B)}+1)} \\\\\\\frac{cos(B)*sen(B)*\frac{1}{cos(B)}+cos(B)*sen(B)*\frac{1}{sen(B)}) }{cos(B)*sen(B)*\frac{sen(B)}{cos(B)}+cos(B)*sen(B)*1}\\\\\\\frac{sen(B)+cos(B)}{sen^{2}(B)+cos(B)*sen(B) } \\\\\frac{sen(B)+cos(B)}{sen(B)*sen(B)+cos(B)*sen(B) }$

factorizando por sen(B) queda

$\frac{sen(B)+cos(B)}{sen(B)*(sen(B)+cos(B)) }$

y es equivalente a decir

$\frac{1}{sen(B)} *\frac{sen(B)+cos(B)}{sen(B)+cos(B)}\\\\\frac{1}{sen(B)} *1\\\\\frac{1}{sen(B)}$

y  como se menciono anteriormente

$csc(B) = \frac{1}{sen(B)}$

entonces obtenemos que

$csc(B)$

demostrado

espero te sirva, saludos.