Question

Encuentra un polinomio P(x) de segundo grado que tenga por raíces a -
1 y 4 y que su valor numérico en x = 2 sea 8.

Answer 1

Respuesta:

$P(x)=-\frac{4}{3}x^2+4x+\frac{16}{3}$

Explicación paso a paso:

Para encontrar el polinomio debemos recurrir al Teorema del Factor Nulo, que nos dice que, factorizada una ecuación, al igualar cada factor a 0 obtenemos las raíces, en este caso, al conocer las raíces, vamos al revés, osea:

$x=-1 \\x+1=0$

y:

$x=4\\x-4=0$

Por lo tanto, el polinomio que buscamos viene dado por el producto:

$(x+1)(x-4)=x^2-3x-4$

Por lo tanto, la ecuación $x^2-3x-4=0$ y todos sus "múltiplos" tiene por raíces $-1$ y $4$

Ahora hay que buscar los coeficientes que hagan que esta ecuación cumpla el segundo requisito, para eso reemplazamos las $x$ por el número 2, agregamos un mismo factor a todos los términos, igualamos a 8 y resolvemos:

$a(2)^2-a(3)(2)-a(4)=8\\4a-6a-4a=8\\-6a=8\\a=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$

Ahora multipliquemos el primer polinomio por este valor:

$x^2(-\frac{4}{3})-3x(-\frac{4}{3})-4(-\frac{4}{3})\\-\frac{4}{3}x^2+4x+\frac{16}{3}$

Por lo que el polinomio que buscamos es:

$P(x)=-\frac{4}{3}x^2+4x+\frac{16}{3}$